KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem K. 156. (January 2008)

K. 156. The lower part of the house (see the Figure) in the circle is a square, and the top is an equilateral triangle. Prove that the length of the side of the house equals the radius of the circle.

(6 pont)

Deadline expired on 11 February 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Kössük össze a kör középpontjával a ház E csúcsát, és B sarkát.

CB=CD=EC, tehát az ECB háromszög egyenlő szárú, alapon fekvő szögei egyenlőek, nagyságuk pedig: BEC\angle=EBC\angle=\frac{180^{\circ}-ECB\angle}{2}=\frac{180^{\circ}-(60^{\circ}+90^{\circ})}{2}=15^{\circ}.

EO=OB=r, így az EOB_{\triangle} egyenlő szárú, és így alapon fekvő szögei egyenlőek: OBE\angle=OEB\angle=OEC\angle-BEC\angle=\frac{60^{\circ}}{2}-BEC\angle=30^{\circ}-15^{\circ}=15^{\circ}. (Felhasználtuk, hogy EO felezi a DEC\angle-et.)

EOB_{\triangle} egybevágó az ECB_{\triangle}-gel, hiszen alapjuk és az azon fekvő szögek egyenlőek. Ennélfogva száraik is egyenlő hosszúak, vagyis a kör sugara megegyezik a ház oldalával.


Statistics:

128 students sent a solution.
6 points:60 students.
5 points:13 students.
4 points:7 students.
3 points:5 students.
2 points:9 students.
1 point:14 students.
0 point:16 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley