Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 161. (February 2008)

K. 161. Add all positive integers for which the quotient and remainder are equal if the number is divided by 2008. What is the result?

(6 pont)

Deadline expired on March 10, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha egy pozitív számot 2008-cal osztunk, akkor a maradék 0, 1, 2, ..., 2007 lehet. Azok a pozitív számok, melyeknél a maradék és a hányados is megegyezik, az alábbiak: 1.2008+1, 2.2008+2, 3.2008+3, ..., 2007.2008+2007 (a 0.2008+0 nem felel meg, mivel nem pozitív egész szám). Vegyük észre, hogy ezek a számok más alakban is írhatók: 1.2008+1=1.2009; 2.2008+2=2.2009, ..., 2007.2008+2007=2007.2009. Ezen számok összege tehát az 1-től 2007-ig terjedő pozitív egész számok összegének 2009-szerese, azaz 2009\cdot(1+2+3+\ldots+2007)=2009\cdot\frac{2008\cdot2007}{2}=4~048~191~252.

Megjegyzés: A 2008\cdot(1+2+3+\ldots+2007)+(1+2+3+\ldots+2007) alak is a kívánt eredményt hozza.


Statistics:

133 students sent a solution.
6 points:85 students.
5 points:21 students.
4 points:10 students.
3 points:1 student.
2 points:8 students.
1 point:2 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2008