KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem K. 161. (February 2008)

K. 161. Add all positive integers for which the quotient and remainder are equal if the number is divided by 2008. What is the result?

(6 pont)

Deadline expired on 10 March 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha egy pozitív számot 2008-cal osztunk, akkor a maradék 0, 1, 2, ..., 2007 lehet. Azok a pozitív számok, melyeknél a maradék és a hányados is megegyezik, az alábbiak: 1.2008+1, 2.2008+2, 3.2008+3, ..., 2007.2008+2007 (a 0.2008+0 nem felel meg, mivel nem pozitív egész szám). Vegyük észre, hogy ezek a számok más alakban is írhatók: 1.2008+1=1.2009; 2.2008+2=2.2009, ..., 2007.2008+2007=2007.2009. Ezen számok összege tehát az 1-től 2007-ig terjedő pozitív egész számok összegének 2009-szerese, azaz 2009\cdot(1+2+3+\ldots+2007)=2009\cdot\frac{2008\cdot2007}{2}=4~048~191~252.

Megjegyzés: A 2008\cdot(1+2+3+\ldots+2007)+(1+2+3+\ldots+2007) alak is a kívánt eredményt hozza.


Statistics:

135 students sent a solution.
6 points:85 students.
5 points:21 students.
4 points:10 students.
3 points:1 student.
2 points:8 students.
1 point:2 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley