Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 161. feladat (2008. február)

K. 161. Adjuk össze az összes olyan pozitív egész számot, amelyet ha 2008-cal osztunk, akkor a hányados és a maradék megegyezik. Mennyi lesz az eredmény?

(6 pont)

A beküldési határidő 2008. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha egy pozitív számot 2008-cal osztunk, akkor a maradék 0, 1, 2, ..., 2007 lehet. Azok a pozitív számok, melyeknél a maradék és a hányados is megegyezik, az alábbiak: 1.2008+1, 2.2008+2, 3.2008+3, ..., 2007.2008+2007 (a 0.2008+0 nem felel meg, mivel nem pozitív egész szám). Vegyük észre, hogy ezek a számok más alakban is írhatók: 1.2008+1=1.2009; 2.2008+2=2.2009, ..., 2007.2008+2007=2007.2009. Ezen számok összege tehát az 1-től 2007-ig terjedő pozitív egész számok összegének 2009-szerese, azaz 2009\cdot(1+2+3+\ldots+2007)=2009\cdot\frac{2008\cdot2007}{2}=4~048~191~252.

Megjegyzés: A 2008\cdot(1+2+3+\ldots+2007)+(1+2+3+\ldots+2007) alak is a kívánt eredményt hozza.

Statisztika:

133 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:85 versenyző.
5 pontot kapott:21 versenyző.
4 pontot kapott:10 versenyző.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:8 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:5 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2008. februári matematika feladatai