Problem K. 164. (March 2008)

K. 164. Eight points are marked on a circle, at equal distances between adjacent points. Consider all scalene (non-isosceles) triangles formed by the eight points. What may be the angles of the triangle?

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A nyolc pontot felhasználva ötféle különböző háromszög készíthető, ezek közül kettő nem egyenlő szárú (lásd az ábrán).

Az ABC háromszögben AB átmérő, ezért C-nél a Thalesz-tétel értelmében derékszög van. Az -val jelölt szög a teljes szög nyolcadrésze, azaz 45^o, így az OAC egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei 67,5^o nagyságúak, tehát a CAB szög nagysága 67,5^o. Az ABC háromszög harmadik szöge 22,5^o-os.

A DEF háromszöget az első ábrán látható háromszöggel egy húrtrapézzá tudjuk kiegészíteni. A húrtrapéz D-nél levő szöge 67,5^o nagyságú, ezért az E-nél levő szög nagysága 112,5^o. A DEF háromszög D-nél levő szöge a 67,5^o (a húrtrapéz alapon fekvő szöge) és a 22,5^o (az ADF háromszög D-nél levő szöge) különbsége, azaz 45^o. A DEF háromszög harmadik szöge 22,5^o.

Statistics:

129 students sent a solution.
6 points:	Almási Péter, Árvay Balázs, Balogh 411 Péter, Balogh Beáta, Bartha Kristóf, Benkő Anna, Bicskei Dávid, Blóz Gizella Evelin, Botond Ákos, Csapó Botond, Csernyánszky Nándor, Czebe 007 Brigitta, Czinder Gábor, Dúzs Brigitta, Engert János Dávid, Farkas Zoltán, Haléder Zsuzsanna, Hegedűs Csaba, Jezeri András, Kaplár F. Benedek, Kiss 992 László, Kunos Vid, Medvey Fanni, Mihálykó András, Nagy-György Péter, Nahaj Judit, Palotás Julianna, Pánczél János Károly, Pós Eszter Sarolta, Rudas Csilla, Sass Zoltán, Schwarcz Gergő, Szatmári György, Szinger Árpád, Tamás Ádám, Ván Bálint, Varga 777 Ádám, Várnai Péter, Zempléni Réka.
5 points:	44 students.
4 points:	9 students.
3 points:	6 students.
2 points:	10 students.
1 point:	5 students.
0 point:	12 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2008