KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem K. 164. (March 2008)

K. 164. Eight points are marked on a circle, at equal distances between adjacent points. Consider all scalene (non-isosceles) triangles formed by the eight points. What may be the angles of the triangle?

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A nyolc pontot felhasználva ötféle különböző háromszög készíthető, ezek közül kettő nem egyenlő szárú (lásd az ábrán).

Az ABC háromszögben AB átmérő, ezért C-nél a Thalesz-tétel értelmében derékszög van. Az \alpha-val jelölt szög a teljes szög nyolcadrésze, azaz 45o, így az OAC egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei 67,5o nagyságúak, tehát a CAB szög nagysága 67,5o. Az ABC háromszög harmadik szöge 22,5o-os.

A DEF háromszöget az első ábrán látható háromszöggel egy húrtrapézzá tudjuk kiegészíteni. A húrtrapéz D-nél levő szöge 67,5o nagyságú, ezért az E-nél levő szög nagysága 112,5o. A DEF háromszög D-nél levő szöge a 67,5o (a húrtrapéz alapon fekvő szöge) és a 22,5o (az ADF háromszög D-nél levő szöge) különbsége, azaz 45o. A DEF háromszög harmadik szöge 22,5o.


Statistics:

131 students sent a solution.
6 points:Almási Péter, Árvay Balázs, Balogh 411 Péter, Balogh Beáta, Bartha Kristóf, Benkő Anna, Bicskei Dávid, Blóz Gizella Evelin, Botond Ákos, Csapó Botond, Csernyánszky Nándor, Czebe 007 Brigitta, Czinder Gábor, Dúzs Brigitta, Engert János Dávid, Farkas Zoltán, Haléder Zsuzsanna, Hegedűs Csaba, Jezeri András, Kaplár F. Benedek, Kiss 992 László, Kunos Vid, Medvey Fanni, Mihálykó András, Nagy-György Péter, Nahaj Judit, Palotás Julianna, Pánczél János Károly, Pós Eszter Sarolta, Rudas Csilla, Sass Zoltán, Schwarcz Gergő, Szatmári György, Szinger Árpád, Tamás Ádám, Ván Bálint, Varga 777 Ádám, Várnai Péter, Zempléni Réka.
5 points:44 students.
4 points:9 students.
3 points:6 students.
2 points:10 students.
1 point:5 students.
0 point:12 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley