 |
A K. 167. feladat (2008. március) |
K. 167. Dudley Langford skót matematikus tiszteletére nevezzük DudLa-számoknak azokat a számokat, amelyeknek minden számjegye legalább kétszer szerepel a számban, és az is igaz, hogy bármely két ugyanolyan értékű számjegy között annyi darab más értékű számjegy áll, mint amennyi azok értéke. Például ilyen DudLa szám a 723 121 327, mert két 1-es között 1 db, két 2-es között 2 db, két 3-as között 3 db, két 7-es között 7 db tőle különböző értékű számjegy áll. Keressünk minél több hétjegyű DudLa-számot.
(6 pont)
A beküldési határidő 2008. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás: A keresett számokban 5-nél nagyobb számjegy nem szerepelhet, mert két számjegy között nem lehet 5-nél több számjegy. Továbbá, mivel hét számjegy van, és minden számjegy legalább kétszer szerepel, ezért van egy számjegy, ami legalább 3-szor is szerepel és csak egy ilyen van (ez a számjegy csak a 0, az 1 vagy a 2 lehet). A próbálgatások során aszerint haladhatunk, hogy mi a legnagyobb számjegye a felírandó számnak, továbbá aszerint, hogy melyiket tudjuk legalább 3-szor szerepeltetni. Így az alábbi lehetőségeket kapjuk: 5000005, 5300035, 4000141, 1410004, 1312132, 2312131, 2312132.
Megjegyzés: Dudley Langford azokkal a számokkal foglalkozott, melyek megfelelnek a fenti kritériumoknak, de egy adott értékig minden számjegyet pontosan kétszer tartalmaznak (pl. pontosan két 1-es, két 2-es, két 3-as szerepel benne), és vizsgálódásait más számrendszerekre is kiterjesztette (hogy legyen 9-nél nagyobb számjegye is).
Statisztika:
120 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Almási Péter, Árvay Balázs, Bálint Máté, Balogh Beáta, Baranyai Zoltán, Berghammer Tamás, Blóz Gizella Evelin, Botond Ákos, Csapó Anna Viktória, Csapó Botond, Engert János Dávid, Farkas Zsuzsanna, Gyimesi Bernadett, Hegedűs Csaba, Holczer Eszter, Horváth 429 Gábor, Jezeri András, Katona Ádám László, Kiss 007 Enikő, Kovács 859 Ágnes, Kunos Vid, Medvey Fanni, Mihálykó András, Mohácsi 938 Péter, Nagy-György Péter, Nahaj Judit, Rumpl Balázs, Sass Zoltán, Tamás Ádám, Tene Zsuzsanna, Ván Bálint, Varga 712 Stefánia, Varga 777 Ádám, Várnai Péter, Vida 204 Zsóka, Zempléni Réka. 5 pontot kapott: Albini Attila, Bartha Kristóf, Iván Márton, Kiss 992 László, Pupli Márton, Szilveszter Kata, Varga 001 Bálint. 4 pontot kapott: 7 versenyző. 3 pontot kapott: 29 versenyző. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 19 versenyző. 0 pontot kapott: 10 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2008. márciusi matematika feladatai