KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

K. 172. Write the whole numbers 1 to 19 in the fields of the ``Latin hexagon'' shown in the Figure so that the sum of the numbers is the same in each column and along each diagonal row of adjacent small hexagons touching each other along a common side (whether it contains three or four of them). Find all possible solutions.

(6 points)

This problem is for grade 9 students only.

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Mivel öt oszlop van a bűvös hatszögben, ezért ha az összes beírt számot összeadjuk, akkor az egy oszlopban levő számok összegének ötszörösét kapjuk. 1-től 19-ig a számok összege pl. a Gauss-módszerrel számolva 1+2+\ldots+19=19\cdot10=190, ennek ötödrésze 38. Tehát minden oszlopban, illetve átlós sorban a számok összege 38. Ezt felhasználva abban az oszlopban vagy átlós sorban, ahol csak egy szám hiányzik, a hiányzó szám kiszámítható. Ennek segítségével az alábbi ábráig juthatunk el:

A 9-es mellé két olyan számot kell írnunk, melyek összege 29. Ez csak 19+10, 18+11, 17+12, 16+13, 14+15 számok összegeként áll elő, de ezek közül a 14+15 kivételével minden összeg egyik tagja már be lett írva a hatszögbe. A 14 és a 15 kétféle sorrendben kerülhet a 9 mellé. Ha a 14 kerülne a 10 oszlopába, akkor oda még egy 14-est kellene írnunk, de ez nem lehetséges, így a 15 kerül a 10 oszlopába, a 14 pedig a 9 mellé. Innen már a korábban említett elvet követve a hatszög kitölthető a feltételeknek megfelelően. Egy lehetséges kitöltési sorrendet mutatunk be az ábrán, a nagybetűkkel jelzett mezőkön a betűk ABC sorrendjében haladva. Az egyetlen helyes megoldást a második ábra mutatja.


Statistics on problem K. 172.
216 students sent a solution.
6 points:Aleksziev Péter, Benedek Zsófia, Budavári Ruben Pál, Fazekas Gábor László, Félegyházi Dávid, Gróf Gábor, Halász 423 Dániel, Halász Dániel, Herczeg 024 Judit, Juhász-Bóka Bernadett, Koltai-Kiss Borbála, Konkoly 002 Csaba, Kovács Flóra, Kovács Péter, Kővágó Zoltán, Kovalcsik Anna, Kurdi Gabriella, Könye Viktor, Laczkó Zoltán Balázs, Lencz András, Limbay Bence, Ludas Dániel, Madarasi Adrienn, Márki Gabriella, Nagy Olivér, Nánási József, Reskó Sándor, Samu Viktor, Sándor Tímea, Sápi András, Solti Bálint, Stark Ádám, Szelestei Zsófia, Tarjáni Ariella Janka, Tolnai Dániel, Vámi Tamás Álmos, Veres Andrea, Wiszt Attila, Zagyva Dániel.
5 points:17 students.
4 points:23 students.
3 points:57 students.
2 points:65 students.
1 point:2 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2008

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program