K. 174. a) Is it possible for the sum of four consecutive odd numbers to be a four-digit number with all digits identical? b) Is it possible for the sum of five consecutive odd numbers to be a five-digit number with all digits identical? c) Is it possible for the sum of eight consecutive even numbers to be an eight-digit number with all digits identical?

(6 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás. a) Jelölje a négy egymást követő páratlan számot a-3, a-1, a+1, a+3, ahol a egy páros szám. Ekkor a számok összege 4a, ami osztható 8-cal, tehát a szóba jöhető egyetlen megfelelő négyjegyű szám a 8888. Ekkor a=2222, tehát a négy páratlan szám 2219, 2221, 2223, 2225. Ezek összege valóban 8888.

b) Az öt egymást követő páros szám legyen a-4, a-2, a, a+2, a+4, ahol a egy páros szám. Ezek összege 5a, tehát osztható 10-zel. Viszont nincs olyan ötjegyű szám, amelynek minden számjegye azonos, és osztható 10-zel, így nincs a feltételeknek megfelelő öt darab páros szám.

c) Jelölje a nyolc egymást követő páratlan számot a-7, a-5, a-3, a-1, a+1, a+3, a+5, a+7 ahol a egy páros szám. Ekkor a számok összege 8a, ami osztható 16-tal. A nyolcjegyű, egyforma számjegyekből álló számok közül csak a 88 888 888 osztható 8-cal, de nem osztható 16-tal, tehát nincs nyolc, a feltételeknek megfelelő páratlan szám.

Statistics on problem K. 174. 243 students sent a solution. 6 points: 109 students. 5 points: 36 students. 4 points: 34 students. 3 points: 13 students. 2 points: 22 students. 1 point: 2 students. 0 point: 18 students. Unfair, not evaluated: 9 solutions.