Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem K. 174. (September 2008)

K. 174. a) Is it possible for the sum of four consecutive odd numbers to be a four-digit number with all digits identical? b) Is it possible for the sum of five consecutive odd numbers to be a five-digit number with all digits identical? c) Is it possible for the sum of eight consecutive even numbers to be an eight-digit number with all digits identical?

(6 pont)

Deadline expired on October 10, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) Jelölje a négy egymást követő páratlan számot a-3, a-1, a+1, a+3, ahol a egy páros szám. Ekkor a számok összege 4a, ami osztható 8-cal, tehát a szóba jöhető egyetlen megfelelő négyjegyű szám a 8888. Ekkor a=2222, tehát a négy páratlan szám 2219, 2221, 2223, 2225. Ezek összege valóban 8888.

b) Az öt egymást követő páros szám legyen a-4, a-2, a, a+2, a+4, ahol a egy páros szám. Ezek összege 5a, tehát osztható 10-zel. Viszont nincs olyan ötjegyű szám, amelynek minden számjegye azonos, és osztható 10-zel, így nincs a feltételeknek megfelelő öt darab páros szám.

c) Jelölje a nyolc egymást követő páratlan számot a-7, a-5, a-3, a-1, a+1, a+3, a+5, a+7 ahol a egy páros szám. Ekkor a számok összege 8a, ami osztható 16-tal. A nyolcjegyű, egyforma számjegyekből álló számok közül csak a 88 888 888 osztható 8-cal, de nem osztható 16-tal, tehát nincs nyolc, a feltételeknek megfelelő páratlan szám.


Statistics:

243 students sent a solution.
6 points:109 students.
5 points:36 students.
4 points:34 students.
3 points:13 students.
2 points:22 students.
1 point:2 students.
0 point:18 students.
Unfair, not evaluated:9 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2008