Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 185. (November 2008)

K. 185. Ten teams took part in a football championship. Every team played every other team exactly once. In each game, the winner team gets 3 points and the losers get 0. In the case of a tie, each team gets 1 point. At the end of the championship, the total of the scores of the teams was 119. Is it true that there was at least one team that tied at least four times?

(6 pont)

Deadline expired on December 10, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A tíz csapat közötti mérkőzések száma összesen \frac{10\cdot9}{2}=45. Mivel minden meccsen összesen 3 vagy 2 pontot osztanak ki, ezért a csapatok által összesen megszerezhető pontok száma maximum 3.45=135. Ehhez képest azonban vesztettek összesen 16 pontot, azaz a lejátszott mérkőzések között 16 döntetlen volt. Ez összesen 32 döntetlen eredmény az egyes csapatokat tekintve, melyet a tíz csapat között kell szétosztani (mert egy döntetlen két csapathoz kapcsolódik), tehát mindenképpen volt olyan csapat, amelyik négy döntetlent játszott, ellenkező esetben legfeljebb 30 döntetlent könyvelhettek volna el összesen a csapatok.


Statistics:

183 students sent a solution.
6 points:111 students.
5 points:13 students.
4 points:7 students.
3 points:8 students.
2 points:7 students.
1 point:7 students.
0 point:9 students.
Unfair, not evaluated:21 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2008