A K. 199. feladat (2009. február)

K. 199. Dixi ötjegyű számokat rak sorba egy általa kitalált szabály szerint. Elsőként az utolsó számjegy szerint rakja csökkenő sorrendbe a számokat. Ha ez két szám esetén megegyezik, akkor az kerül előrébb, amelynek első számjegye kisebb. Ha ez is megegyezik, akkor a közbülső számjegyek szorzata szerinti csökkenő sorrendbe kerülnek a számok. (Dixi csak olyan számokat rak sorba, melyeknél ezek alapján egyértelműen eldönthető a sorrend.) Dixi egy papírra felírt hat számot a fent megfogalmazott szabályok szerint sorba rakva, azonban papírján elmosódott néhány számjegy (ezeket itt most betűkkel jelöltük), így ez olvasható rajta: 42348, A8318, 56B48, 8653C, 46585, D8655. A lehetőségeket végiggondolva tippelünk arra, hogy melyik volt a Dixi által sorbarakott hat szám (a tippünk minden számra egy-egy lehetséges értéket mond). Mennyi az esélye annak, hogy eltaláljuk Dixi összes számát?

(6 pont)

A beküldési határidő 2009. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel az első két szám utolsó számjegye és középső számjegyeik szorzata megegyezik, ezért a sorrendben az első számjegy dönt. Mivel a harmadik szám utolsó számjegye is 8 és első számjegye 5, ezért 4<A<6, vagyis A=5.

Ekkor a 2. és 3. szám első és utolsó számjegye megegyezik, középső számjegyeik szorzata pedig 24, illletve 24B. Mivel a szabály szerint 24B<24, ezért B=0.

A negyedik szám első számjegye nagyobb, mint a harmadik számé, így utolsó jegye: C8. Az ötödik szám első számjegye kisebb, mint a negyedik számé, így utolsó jegye kisebb, mint a negyedik szám utolsó jegye: 5<C. Azt kaptuk, hogy 5<C8. Ez C-re nézve 3 lehetőség.

Végül az utolsó két szám utolsó számjegye és középső számjegyeik szorzata megegyezik, így a szabály alapján D>4. Tehát 4<D9, vagyis D 5 értéket vehet föl.

A keresett valószínűség: .

Statisztika:

143 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	69 versenyző.
5 pontot kapott:	18 versenyző.
4 pontot kapott:	10 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	8 dolgozat.

A KöMaL 2009. februári matematika feladatai