KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem K. 206. (March 2009)

K. 206. Steve and Charlie are brothers. Their mom bought them petits fours at the confectioner's shop. There are 8 larger cubes of edge 3 cm and 27 smaller cubes 2 cm on edge. Five faces of each cake are covered with icing that has the same uniform thickness on all of them. The bottom of the cakes is not iced. Steve and Charlie would like to divide the petits fours between them so that each gets the same total volume, the cakes are not cut in pieces, and each of them gets both kinds.

a) Show that these conditions are impossible to meet.

b) When they see that they cannot divide the petits fours equally by volume, they decide to have equal quantities of icing instead. (They still do not want to cut the cakes, and each of them should get both kinds.) Find all possible ways to divide the petits fours.

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) A mignonok összes térfogata cm3-ben mérve 8.27+27.8=432, tehát a két fiúnak 216-216 cm3 mignont kéne kapnia igazságos osztozkodás esetén. Jelöljük a-val az egyik fiú által kapott kis mignonok számát, b-vel a nagyokét. Ekkor az általa kapott mignonok összes térfogatára a 8a+27b=216 egyenlőség teljesül. Mivel a 216 és a 8 is osztható 8-cal, valamint 27 és 8 relatív prímek, ezért b is osztható kell legyen 8-cal. Ez viszont azt jelentené, hogy az egyik fiú megkapja az összes nagy mignont, de ez nem megengedett. Tehát az említett feltételeknek megfelelő elosztás nem lehetséges.

b) Egy kis mignonon 5.4=20 cm2 cukormáz van, egy nagy mignonon pedig 5.9=45 cm2. Tehát az összes cukormáz mennyisége cm2-ben mérve 27.20+8.45=900, így egy fiúnak 450 cm2 cukormázat kell kapnia. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük, hogy hány nagy mignont adunk, és mellé hány kicsit kell adnunk, hogy 450 cm2 cukormáz legyen együttvéve a mignonokon. A nagy mignonok száma nem lehet páratlan, mert ekkor összesen páratlan cm2 cukormázat adnánk velük, de a kis mignonokkal mindenképpen páros jár, hiszen egy kicsin 8 cm2 máz van, de így összesen nem lehetne 450 cm2 a cukormáz mennyisége. Továbbá a nagy mignonok száma nem lehet 8 egyik fiúnál sem, mert nem kapja meg az összeset.

Nagy mignonok száma Nagy mignonokon a cukormáz Mennyi cukormáz kell még? Hány db kis mignon?
2 90 360 18
4 180 270 13,5
6 270 180 9

Azt kaptuk tehát egyetlen lehetséges elosztásként, hogy az egyik fiú 2 nagy és 18 kicsi, a másik fiú 6 nagy és 9 kicsi mignont kap.


Statistics:

114 students sent a solution.
6 points:Antal Viktória, Borka Péter, Böröndy Áron, Csanády Bálint Zsombor, Diós Dániel, Gróf Gábor, Gujás István, Halász 423 Dániel, Hazafi Bettina, Juhász-Bóka Bernadett, Karádi 468 Dániel Tamás, Kasó Márton, Kis Attila Soma, Kovács 411 Ádám, Kovács Péter, Könye Viktor, Kővágó Zoltán, Kutas Áron, Ludas Dániel, Madarasi Adrienn, Major Attila, Nagy Zsuzsanna, Nánási József, Pogány László, Reskó Sándor, Rónaky Rebeka, Samu Viktor, Sándor Tímea, Sápi András, Serfőző Virág Fanni, Solti Bálint, Straubinger Dániel, Szigeti Tamás, Szőts Nóra, Tolnai Dániel, Ujhelyi Viktor, Várközi Patrícia, Veres Andrea, Vesztergombi Tamás, Vogronics Patrik, Wiszt Attila, Zagyva Dániel.
5 points:26 students.
4 points:15 students.
3 points:5 students.
2 points:14 students.
1 point:4 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley