Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 207. (March 2009)

K. 207. The floor of a rectangular shaped hallway of area 14.4 m2 is tiled with rectangular tiles. In every fifth row of tiles along the length of the hallway, the tiles are rotated through a right angle. In this way, 15 rows of tiles are needed and no tiles need to be cut. If all tiles were laid in the way they are laid in the fifth rows, the hallway could also be tiled without cutting any tiles. In that case, there would be 18 rows of tiles. What may be the dimensions of the tiles if their sides in centimetres are whole numbers?

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel a második esetben kell több sor, így itt, és az első eset ötödik soraiban, a csempék rövidebb oldala néz a folyosó hosszabbik oldala felé, a továbbiakban mondjuk, hogy lefelé. Az első fajta lerakásnál 3 ilyen sor van, és 12, ahol a hosszabbik oldalak vannak lefelé, a második esetben 3+15 lefelé néző sor. Ezek alapján 12 hosszabb csempeoldal tesz ki 15 rövidebbet, tehát a csempe oldalainak aránya 5:4. A második fajta lerakásnál így egy sorban 4, 8 vagy 12 csempe lehet, hiszen néggyel oszthatónak kell lennie, hogy az elfordított csempékből is egész számú tegyen ki egy sort, de 16 már nem lehet, mert akkor nem lehetne az a folyosó rövidebb oldala.

Jelölje a a csempe rövidebb oldalának hosszát.

Ha 4 db van egy sorban, akkor a folyosó területe 18a\cdot4\cdot\frac54a=14,4~{\rm  m}^2, ahonnan a2=0,16 m2, azaz a=40 cm, b=50 cm.

Ha 8 db van egy sorban, akkor a folyosó területe 18a\cdot8\cdot\frac54a=14,4~{\rm  m}^2, ahonnan a2=0,08 m2, ekkor az oldalak nem egész számok.

Ha 12 db van egy sorban, akkor a folyosó területe 18a\cdot12\cdot\frac54a=14,4~{\rm  m}^2, ebből sem kapunk egész megoldásokat.


Statistics:

87 students sent a solution.
6 points:Budafoki Dóra, Csanády Bálint Zsombor, Diós Dániel, Félegyházi Dávid, Gróf Gábor, Halász 423 Dániel, Juhász-Bóka Bernadett, Kasó Márton, Kovács 411 Ádám, Kovács Péter, Laczkó Zoltán Balázs, Lencz András, Madarasi Adrienn, Nagy 014 Gergely, Nagy Olivér, Nánási József, Rónaky Rebeka, Samu Viktor, Serfőző Virág Fanni, Sóvári Gergely, Straubinger Dániel, Szőts Nóra, Veres Andrea, Zagyva Dániel.
5 points:Bauer Barbara, Böröndy Áron, Kovács Flóra, Könye Viktor, Sándor Tímea, Tolnai Dániel.
4 points:20 students.
3 points:7 students.
2 points:10 students.
1 point:3 students.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:13 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2009