KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

K. 208. a) In the coordinate plane, a circle of radius 5 is drawn about the origin. How many lattice points lie on the circumference of the circle? (A lattice point is a point whose coordinates are both integers.)

b) Find an integer r, such that there are more than 14 lattice points on a circle of radius r centred at the origin. Justify your answer.

(6 points)

This problem is for grade 9 students only.

Deadline expired on 10 April 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. a) Mivel 52=32+42, és a 25 másképp nem írható fel két pozitív egész négyzetének összegeként, így a megfelelő pontok: (5,0), (0,5), (-5,0), (0-5), (3,4), (4,3), (-3,4), (-4,3), (-3,-4), (-4,-3), (4,-3), (3,-4).Így a rácspontok száma 4+4.2=12.

b) Egy origó középpontú, r sugarú körön található rácspontok száma 4+4.2.k=4+8k, ahol k az r2 két nemnulla négyzetszám összegére való felbontásainak a száma. Ha ez 14-nél nagyobb, akkor a legkisebb megfelelő szám a 20. Ehhez egy olyan r sugár kell, melyet kétféleképpen is fel tudunk bontani két négyzetszám összegére. Induljunk ki például a következő két egyenletből:

(1)32+42=52,
(2)52+122=132.

Az elsőt szorozzuk meg 132-nel, a másodikat pedig 52-nel (vagyis egymás "jobb oldalával"):

(1')(3.13)2+(4.13)2=(5.13)2,
(2')(5.5)2+(12.5)2=(5.13)2.

Azt kaptuk, hogy 652=392+522=252+602. Tehát a 65 megfelelő lesz.


Statistics on problem K. 208.
107 students sent a solution.
6 points:Antal Viktória, Bauer Barbara, Bende Lilla, Diós Dániel, Falvai András Ádám, Fazekas Gábor László, Gróf Gábor, Gujás István, Halász 423 Dániel, Hazafi Bettina, Juhász-Bóka Bernadett, Karádi 468 Dániel Tamás, Kasó Márton, Kaszás Valér, Kovács 998 András, Kovács Flóra, Kovács Péter, Kovalcsik Anna, Könye Viktor, Kővágó Zoltán, Laczkó Zoltán Balázs, Márki Gabriella, Nagy 014 Gergely, Nagy Olivér, Nagy Zsuzsanna, Nánási József, Pető Éva Vivien, Pizág Bertalan, Rónaky Rebeka, Rózsa Petra, Samu Viktor, Sápi András, Solti Bálint, Straubinger Dániel, Szigeti Bertalan György, Szigeti Tamás, Táczi István, Tarjáni Ariella Janka, Tolnai Dániel, Ujhelyi Viktor, Vámi Tamás Álmos, Veres Andrea, Vesztergombi Tamás, Wiszt Attila, Zagyva Dániel, Zolcsák Ádám.
5 points:6 students.
4 points:4 students.
3 points:4 students.
2 points:25 students.
1 point:10 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley