Problem K. 212. (September 2009)

K. 212. Four football teams organize a championship. Every team plays every other team once. The winning teams scores 3 points, the losing team scores 0 points and each team scores 1 point if there is a draw. The Albatrosses did not lose any game and won the tournament. The Black Sheep came out second. They did not have any draws. The third place went to the Cheerful Devils who did not win any game. The Dragonflies were in the fourth place. (In the case of equal scores, the order of teams is determined by the game played against each other. If it is a draw, a tie is declared.) Show that under the given conditions the scores of the four teams were different. List who was the winner in which game and which games ended with a draw. Justify your answers.

(6 pont)

Deadline expired on October 12, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha az Albatroszok nem vesztettek, akkor nyertek vagy döntetlent játszottak. Ugyanígy a Csíkos ördögök nem nyertek, tehát vesztettek vagy döntetlent játszottak. Ha nem lett volna döntetlen meccsük, akkor a Dongóknak sem, de ez nem lehet, mert egymás ellen valamelyiküknek nyerni kellett, vagy döntetlent kellett játszani, ami a feltevésünk szerint nem lehet. Tehát C játszott döntetlent, de biztos, hogy nem a Betyárokkal: tehát vagy A-val vagy D-vel. B nem veszthetett csak A-val szemben, különben C-nek legalább 4 pontja lenne, míg B-nek meg csak 3. A meccsek kimenetele a következők lehetnek (a nyertes betűjelével, döntetlen esetén mindkettővel):

1. eset az, amikor a “nem vesztett” kifejezésbe beleérthető, hogy csak nyert. A csapatok összpontszáma különböző volt akkor, ha a “nem vesztett” kifejezés alatt szigorúan azt értjük, hogy nyert és volt döntetlen játszmája is.

Statistics:

260 students sent a solution.
8 points:	Ványai István.
6 points:	58 students.
5 points:	61 students.
4 points:	30 students.
3 points:	36 students.
2 points:	23 students.
1 point:	38 students.
0 point:	11 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2009