Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem K. 214. (September 2009)

K. 214. In the interior of a square ABCD a point P is marked such that the triangles PAB and PCD are congruent. Determine the set (locus) of such points P.

(6 pont)

Deadline expired on October 12, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a négyzet oldalainak hossza 1. Ha ABP és PCD háromszögek egybevágóak, akkor a területük nagysága is megegyezik. P-nek az AB oldaltól való távolsága d, akkor a CD oldaltól 1-d. A területek \(\displaystyle t_{ABP}=\frac d2\) és \(\displaystyle t_{PCD}=\frac{1-d}{2}\), és a területek egyenlőségéből \(\displaystyle d=\frac 12\). Tehát P a négyzet AB (és CD) oldalával párhuzamos középvonalán helyezkedik el. Az előzőek szerint ezen kívül nem lehet máshol P. Ugyanakkor mivel a középvonal a négyzet egyik szimmetriatengelyére esik, minden pontja jó lesz.


Statistics:

260 students sent a solution.
6 points:Bor Julianna, Énekes Tamás, Fehér Máté, Fodor 611 András, Katona 100 Bálint, Kovács Judit Veronika, Nagy 224 Réka, Nagy Zsanett, Pusztaházi 124 Luca Sára, Rácz Kristóf, Simon 808 Kornél, Sztojka Emma Hella, Takács 737 Gábor, Turányi László, Varga 016 Máté.
5 points:40 students.
4 points:14 students.
3 points:24 students.
2 points:47 students.
1 point:85 students.
0 point:33 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2009