KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem K. 215. (September 2009)

K. 215. The fields of a 3×3 table are filled in with different digits, such that the three-digit numbers read left to right in the rows and down the columns are all divisible by six. How many of them will be divisible by five?

(6 pont)

Deadline expired on 12 October 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A következő megállapításokat tehetjük:

- Egy szám akkor osztható 5-tel, ha a szám 0-ra vagy 5-re végződik.

- Mivel mindegyik kiolvasott szám 6-tal osztható, ezért mind párosak: az utolsó oszlopba és sorba kerülnek a páros számjegyek.

- Ezért az a kérdés, hogy az utolsó sor, ill. Utolsó oszlopba kerül-e, és ha igen, akkor hova a 0 számjegy.

- Mivel a tíz számjegy közül mind az 5 párosat fel kell használni a 3. sor és 3. oszlop kitöltéséhez: legalább 1 szám osztható lesz 5-tel.

- Ha a 0 a jobb alsó sarokba kerül, akkor két szám is osztható 5-tel.

- Mivel az összeolvasott számok 3-mal is oszthatóak, ezért soronként és oszloponként is oszthatóak 3-mal a számjegyek összegei. (Másrészról a 9 beírt számjegy összege is osztható 3-mal. A párosz számjegyek összege 20, ezért a páratlan számjegyek összege 3mal osztva 1 maradékot kell adnia.)

- Ha egy szám csupa 3-mal osztható számjegyből áll, akkor egy másiknak is olyannak kell lennie (amelyikek 0-ra ill. 6-ra végződnek), de ez nem lehetséges, mert csak két hárommal osztható páratlan számjegyünk van, holott 3 kellene. A páros jegyekből sem alkotható ilyen szám.

- Ezért minden sorban és oszlopban pontosan 1 hárommal osztható, 1 db 1 maradékot adó és 1 db 2 maradékot adó számjegy áll. Jelöljük meg ezért 0-val a 3-mal osztható számjegyeket, +-szal a 3-mal osztva 1 maradékot adókat és - -szal a 2 maradékot adókat.

- A páros számjegyek 0, 2, 4, 6, 8 sorban a 0, -, +, 0, - jeleket kapják. Az utolsó oszlop és utolsó sor közös számjegyének jele csak + lehet, mert abból csak 1 van: azaz a jobb alsó sarokba a 4-es kerül.

- Legfeljebb egy 5-tel osztható szám lehet.

- Pontosan egy szám lesz 5-tel osztható.

- A bal alsó és a jobb felső sarokban nem lehet 0.

- Ez valóban meg is valósítható: 0, -, + jelekkel kell kitölteni a 3x3-as táblázatot úgy, hogy minden sorba és minden oszlopban van mindegyik jelből, továbbá a bal felső 2x2 részre -, +, +, 0 kerülhet csak. (Ezért a 3 és a 9 közül csak az egyiket használhatjuk. A 0 és a 6 végű szám valamelyik számjegye az 5 lesz.) Pl.

+-0 156

0+- 372

-0+ 804 egy jó kitöltést mutat.


Statistics:

254 students sent a solution.
6 points:Bogár Péter, Dankovics Viktor, Dávid Bence, Dóka Tamás, Énekes Tamás, Fodor 611 András, Fülep Andrea , Gáspár Vilmos, Gyurcsik Dóra, Haász Zsombor, Heimann Gergő, Horváth 424 Orsolya, Juhász Balázs, Károly Péter Balázs, Kedves Máté, Kelemen Bendegúz, Kollarics Sándor, Kószó 94 Eszter, Kovács 555 Dániel, Kovács 737 Ármin, Kovács 994 Bence, Leitereg András, Nagy 224 Réka, Németh Ádám Gábor, Pál Gergely, Pilinszki - Nagy Csongor, Rakovszky Dorina, Szilágyi Gergely Bence, Szkalisity Ábel, Sztojka Emma Hella, Thamó Emese, Tóth 007 Judit, Tóth Márton, Turányi László, Varga 149 Imre Károly, Zajacz Anikó.
5 points:42 students.
4 points:44 students.
3 points:37 students.
2 points:34 students.
1 point:22 students.
0 point:37 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley