Problem K. 220. (October 2009)

K. 220. Find all possible sets of five not necessarily different positive integers, such that their sum equals their product.

(6 pont)

Deadline expired on November 10, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel \(\displaystyle a\cdot b=\underbrace{b+b + \dots b}_a\), ezért minden szám legfeljebb \(\displaystyle 5\) lehet. Jelöljük a keresett ötösök számait \(\displaystyle a\le b\le c\le d\le e\)-vel! Mivel \(\displaystyle abcde=a+b+c+d+e\le 5e\), ezért \(\displaystyle abcd \le 5\), amiből -tekintve, hogy pozitív egészek szorzatáról van szó- az \(\displaystyle 1,1,1,1\), \(\displaystyle 1, 1, 1, 2\), \(\displaystyle 1, 1, 1, 3\), \(\displaystyle 1, 1, 2, 2\) és az \(\displaystyle 1,1,1,4\) számnégyest kell bővíteni.(Az 1,1,1,5 nem jó, mert akkor \(\displaystyle e=5\), a szorzat 25, az összeg 13.) Módszeresen keresve -a feltételekbe helyettesítve- rendre az \(\displaystyle e=4+e\), \(\displaystyle 2e=e+5\), \(\displaystyle 4e=6+e\), \(\displaystyle 3e=6+e\) és a \(\displaystyle 4e=7+e\) egyenletek pozitív egész megoldásait keressük. Ha léteznek jó megoldások, akkor azokkal jó számötöst kapunk, melyek adják a feladat összes jó megoldását. Ezek a következők:

\(\displaystyle (1, 1, 1, 2, 5),\quad (1, 1, 2, 2, 2),\quad (1, 1, 1, 3, 3).\)

Statistics:

206 students sent a solution.
6 points:	Bingler Arnold, Bogár Péter, Bogye Balázs, Bor Julianna, Drávay Zorka, Énekes Tamás, Fehér Máté, Gábriel Anna, Gyurcsik Dóra, Herendi Orsolya, Homolya Péter, Horváth 0102 Dániel, Károly Péter Balázs, Kelemen Bendegúz, Kovács 994 Bence, Molnár Vivien, Nagy 021 Tibor, Németh Márton, Szabó Gergely Tamás, Szkalisity Ábel, Takács Márton, Thamó Emese, Tragor Márton, Ványi Richárd Mihály, Végh Dávid András.
5 points:	Dankovics Viktor, Erdélyi Vivien, Haász Zsombor, Katona 100 Bálint, Leitereg András, Németh 722 Noémi, Pintér 403 Gabriella, Rábóczki Bettina, Székely Mátyás, Szekér István, Tóth Márton, Varga 149 Imre Károly, Vecsernyés Tamás, Wiandt Zsófia, Zentai Péter, Zieger Barna.
4 points:	24 students.
3 points:	39 students.
2 points:	24 students.
1 point:	56 students.
0 point:	10 students.
Unfair, not evaluated:	12 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2009