Problem K. 226. (November 2009)

K. 226. Kate wrote each of the numbers 1, 11, 121, 1331, 14 641 and 161 051 on 10 sheets of paper, and put them in a box. She picked some of the sheets at random, added the numbers on them and got 1 111 111. How many sheets did she pick?

(6 pont)

Deadline expired on December 10, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Felismerhetjük, hogy az 1, 11, 121, 1331, 14641, 161051 számok 11 hatványai (\(\displaystyle 11^0\), \(\displaystyle 11^1\), \(\displaystyle 11^2\), \(\displaystyle 11^3\), \(\displaystyle 11^4\), \(\displaystyle 11^5\)). Ha a 1 111 111 számot a 11-es számrendszerben felírjuk, akkor ennek alakjából következtethetünk a kihúzott cédulák tartalmára, ugyanis egyik számkártyából sem használhattunk fel 10-nél többet, csakúgy, mint a 11-es számrendszerbeli felírás esetén. A 1 111 111 10-es számrendszerbeli szám alakja a 11-es számrendszerben 699881, így a kihúzott kártyák: 6 db 161051-es, 9-9 db 14641-es és 1331-es, 8-8 db 121-es és 11-es, és 1 db 1-es.

Statistics:

187 students sent a solution.
6 points:	96 students.
5 points:	8 students.
4 points:	46 students.
3 points:	6 students.
2 points:	4 students.
1 point:	15 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	7 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2009