Problem K. 227. (November 2009)

K. 227. Andrew and Bill are preparing for a running race. They train by running around a large regular triangular field several times. They always start simultaneously, and run at uniform speeds. Andrew starts at one vertex, and Bill starts at another. They start running towards each other. Andrew takes 4 minutes and Bill takes 5 minutes to run along one side of the field. Is it possible that they meet at a vertex of the field later on?

(6 pont)

Deadline expired on December 10, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. András indulási helyén András 12x percenként, Béla pedig 5+15y percenként lesz. De a 12x = 5+15y egyenletnek nincs pozitív egész megoldása, hiszen a baloldal osztható 3-mal, a jobb oldal pedig nem, hiszen \(\displaystyle 5(3y+1)\)-gyel egyenlő. Béla indulási helyén Béla 15x percenként, András pedig 4+12y percenként lesz. De a 15x = 4+12y egyenletnek nincs pozitív egész megoldása, hiszen a baloldal osztható 3-mal, a jobb oldal pedig nem, hiszen 4(3y+1)-gyel egyenlő. A harmadik csúcsban András 8+12x, Béla pedig 10+15y percenként lesz. De a 8+12x = 10+15y egyenletnek nincs pozitív egész megoldása, hiszen átrendezve: 12x–15y = 2, a bal oldal osztható 3-mal, a jobb oldal pedig nem. Vagyis futás közben a tér semelyik csúcsában nem találkozhatnak.

Statistics:

184 students sent a solution.
6 points:	Baumgartner Róbert, Bor Julianna, Csóka József, Csuma-Kovács Ádám, Dankovics Viktor, Darabos Kata, Erdélyi Vivien, Girst Gábor, Hartmann Ábel, Horváth 0102 Dániel, Kedves Máté, Kiss 904 Tamara, Kószó 94 Eszter, Marx Anita, Matos Bence, Molnár Vivien, Pusztaházi 124 Luca Sára, Ribényi Gergő, Szabó 262 Lóránt, Thamó Emese, Tusa Csaba, Vecsernyés Tamás, Wiandt Zsófia.
5 points:	Balatoni Bence, Deák Judit, Énekes Tamás, Erdős Szilvia, Fekete Gergely, Herényi Barnabás, Homolya Péter, Hopp Norbert, Jakucs Rita Mónika, Kisturi Eszter, Kovács Ágnes, Kovács Milán, Lakatos Andor, Molnár Ákos, Nagy 021 Tibor, Pilinszki - Nagy Csongor, Rácz Kristóf, Rakovszky Dorina, Szekér István, Szentgyörgyi 994 Rita, Szilágyi Gergely Bence, Szkalisity Ábel, Tóth Endre, Ványi Richárd Mihály, Zajacz Anikó.
4 points:	13 students.
3 points:	77 students.
2 points:	23 students.
1 point:	11 students.
0 point:	10 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2009