A K. 227. feladat (2009. november) |
K. 227. András és Béla egy nagy szabályos háromszög alakú tér többszöri körbefutásával mindennap készül a mezei futóversenyre. Mindig egyszerre kezdik a futást, és egyenletes sebességgel haladnak. András a háromszög egyik csúcsából, Béla pedig egy másik csúcsából indul egymással szembe. András 4 perc alatt, Béla pedig 5 perc alatt futja le a két szomszédos csúcs közötti távolságot. Találkozhatnak-e futás közben a tér valamelyik csúcsában?
(6 pont)
A beküldési határidő 2009. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. András indulási helyén András 12x percenként, Béla pedig 5+15y percenként lesz. De a 12x = 5+15y egyenletnek nincs pozitív egész megoldása, hiszen a baloldal osztható 3-mal, a jobb oldal pedig nem, hiszen \(\displaystyle 5(3y+1)\)-gyel egyenlő. Béla indulási helyén Béla 15x percenként, András pedig 4+12y percenként lesz. De a 15x = 4+12y egyenletnek nincs pozitív egész megoldása, hiszen a baloldal osztható 3-mal, a jobb oldal pedig nem, hiszen 4(3y+1)-gyel egyenlő. A harmadik csúcsban András 8+12x, Béla pedig 10+15y percenként lesz. De a 8+12x = 10+15y egyenletnek nincs pozitív egész megoldása, hiszen átrendezve: 12x–15y = 2, a bal oldal osztható 3-mal, a jobb oldal pedig nem. Vagyis futás közben a tér semelyik csúcsában nem találkozhatnak.
Statisztika:
A KöMaL 2009. novemberi matematika feladatai