KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

K. 228. The length of the diagonal of a cuboid is \sqrt{\overline{aaaa}}, where \overline{aaaa} is a four-digit number. The lengths of the three different edges are three consecutive odd numbers. How long are the edges?

(6 points)

This problem is for grade 9 students only.

Deadline expired on 10 December 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyenek a téglatest éleinek hosszai \(\displaystyle a=b-2\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c=b+2\). Az élekkel a testátló hossza térbeli Pithagoras-tétel szerint \(\displaystyle (b-2)^2 + b^2 + (b+2)^2=3b^2 + 8= \sqrt{\overline{\alpha \alpha \alpha \alpha}}= 1111\cdot \alpha\) a feladat szerint. Mivel a feladat szerint \(\displaystyle b\) páratlan, ezért \(\displaystyle 3b^2 + 8\) is páratlan, ezért \(\displaystyle \alpha\) is az. A \(\displaystyle 3b^2 + 8= 1111\cdot \alpha\) egyenletet vizsgáljuk. Mindkét oldalt 11-gyel csökkentve \(\displaystyle 3b^2 - 3 = 3(b-1)(b+1)=11(101\alpha - 1)\) szerint a jobb oldal osztható \(\displaystyle 3\cdot 4=12\)-vel, azaz \(\displaystyle 101\alpha - 1\) osztható 12-vel. E szerint \(\displaystyle \alpha\) nem \(\displaystyle 3\) és \(\displaystyle 9\) (mert akkor \(\displaystyle 101\alpha -1\) nem osztható \(\displaystyle 3\)-mal). Az \(\displaystyle \alpha\) tehát csak \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 5\) vagy \(\displaystyle 7\) lehet. Ezeket kipróbálva csak a második esetben lesz a vizsgált különbség osztható \(\displaystyle 12\)-vel. Ekkor tehát \(\displaystyle \alpha=5\), \(\displaystyle b=43\), amiből \(\displaystyle a=41\) és \(\displaystyle c=45\).


Statistics on problem K. 228.
158 students sent a solution.
6 points:105 students.
5 points:12 students.
4 points:8 students.
3 points:4 students.
2 points:7 students.
1 point:12 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley