Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 228. (November 2009)

K. 228. The length of the diagonal of a cuboid is \sqrt{\overline{aaaa}}, where \overline{aaaa} is a four-digit number. The lengths of the three different edges are three consecutive odd numbers. How long are the edges?

(6 pont)

Deadline expired on December 10, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyenek a téglatest éleinek hosszai \(\displaystyle a=b-2\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c=b+2\). Az élekkel a testátló hossza térbeli Pithagoras-tétel szerint \(\displaystyle (b-2)^2 + b^2 + (b+2)^2=3b^2 + 8= \sqrt{\overline{\alpha \alpha \alpha \alpha}}= 1111\cdot \alpha\) a feladat szerint. Mivel a feladat szerint \(\displaystyle b\) páratlan, ezért \(\displaystyle 3b^2 + 8\) is páratlan, ezért \(\displaystyle \alpha\) is az. A \(\displaystyle 3b^2 + 8= 1111\cdot \alpha\) egyenletet vizsgáljuk. Mindkét oldalt 11-gyel csökkentve \(\displaystyle 3b^2 - 3 = 3(b-1)(b+1)=11(101\alpha - 1)\) szerint a jobb oldal osztható \(\displaystyle 3\cdot 4=12\)-vel, azaz \(\displaystyle 101\alpha - 1\) osztható 12-vel. E szerint \(\displaystyle \alpha\) nem \(\displaystyle 3\) és \(\displaystyle 9\) (mert akkor \(\displaystyle 101\alpha -1\) nem osztható \(\displaystyle 3\)-mal). Az \(\displaystyle \alpha\) tehát csak \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 5\) vagy \(\displaystyle 7\) lehet. Ezeket kipróbálva csak a második esetben lesz a vizsgált különbség osztható \(\displaystyle 12\)-vel. Ekkor tehát \(\displaystyle \alpha=5\), \(\displaystyle b=43\), amiből \(\displaystyle a=41\) és \(\displaystyle c=45\).


Statistics:

158 students sent a solution.
6 points:105 students.
5 points:12 students.
4 points:8 students.
3 points:4 students.
2 points:7 students.
1 point:12 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2009