Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

# Problem K. 230. (December 2009)

K. 230. The traditional way of numbering houses in a street uses odd numbers on one side and even numbers on the other side. Numberless Street is bounded by identical plots of land on both sides. The odd side is fully developed, there is one house on each plot of land. On the even side, there are a few consecutive plots that have no houses on them yet, but there are two houses on the first plot. The owners decided to use number plates of the same design in the whole street. The number plates they bought are sold for 50 forints a digit (HUF, Hungarian currency). They spent 4250 forints altogether. The numbers for the odd side cost 550 forints more than the numbers for the even side. The owner of the first house on the odd side considered 1 an unlucky number, so they started the numbering by 3. On the even side, the two houses on the first plot got the numbers 2 and 4. They did not buy number plates for the houses that would be built on the vacant plots, but they did take them into consideration in numbering: they did not give their numbers to other buildings. What is the largest number on the odd side and how many vacant plots are there on the even side?

(6 pont)

Deadline expired on January 11, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Összesen 85 számjegyet vettek, a páratlan oldalra 11-gyel többet, mint a páros oldalra. Az összes számjegy darabszámából kivonva 11-et és a kapott értéket osztva 2-vel megkapjuk a páros oldalra vásárolt számjegyek számát, ami 37, így 48 számjegyet vettek a páratlan oldalra. Összeszámolva a számjegyeket, 3-tól 9-ig négy, majd a maradék 44 számjegyet a 11-től kezdve 22 darab páratlan kétjegyű számra tudjuk kiosztani, így a legnagyobb szám a páratlan oldalon 53. Mivel a páros oldal első két telkére két ház épült, és a páratlan oldalon az egyes szám kimaradt, ezért a 3-as házzal szemben a 2 és 4, az 5-ös házzal szemben a 6-os, stb., az 53-as házzal szemben az 54-es van. Emiatt a páros oldalra nem 48, hanem 50 számjegy kell a házszámokhoz, így innen összesen 13 számjegy hiányzik. Ez csak úgy lehetséges, hogy páratlan darab egyjegyű szám hiányzik, de mivel a 2 és a 4 fel lett használva, ez csak úgy lehetséges, hogy egyedül a 8, és az őt követő hat kétjegyű szám maradt ki. Így az utcába hét házat lehet még építeni.

### Statistics:

 159 students sent a solution. 6 points: 54 students. 5 points: 20 students. 4 points: 27 students. 3 points: 15 students. 2 points: 19 students. 1 point: 12 students. 0 point: 6 students. Unfair, not evaluated: 6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2009