Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem K. 231. (December 2009)

K. 231. If the last digits of the products 1.2, 2.3, 3.4, ..., n(n+1) are added, the result is 2010. How many products are used?

(6 pont)

Deadline expired on January 11, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A végződések: 2, 6, 2, 0, 0, 2, 6, 2, 0, 0,... . Vagyis ötösével ismétlődnek a végződések. (Ez igazolható, ha \(\displaystyle n\) értékét \(\displaystyle 10a+x\) alakban írjuk, ahol \(\displaystyle a\) természetes szám, \(\displaystyle x\) pedig számjegy. \(\displaystyle (10a+x)(10a+(x+1))=100a+10a(2x+1)+x(x+1)\). A szorzat utolsó számjegyét az \(\displaystyle x(x+1)\), vagyis két egymást követő számjegy szorzatának utolsó számjegye adja. Az összes szorzatot kiszámolva a fenti sorozatot kapjuk.) A periódusban az összeg 10, ezért 201 periódusra van szükségünk, ami \(\displaystyle 5\cdot 201=1005\) szorzatot jelent. Mivel az utolsó két végződés 0, ezért a szorzatok száma: 1003, 1004 vagy 1005 lehetett.


Statistics:

195 students sent a solution.
6 points:79 students.
5 points:2 students.
4 points:76 students.
3 points:28 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:7 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2009