KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem K. 231. (December 2009)

K. 231. If the last digits of the products 1.2, 2.3, 3.4, ..., n(n+1) are added, the result is 2010. How many products are used?

(6 pont)

Deadline expired on January 11, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A végződések: 2, 6, 2, 0, 0, 2, 6, 2, 0, 0,... . Vagyis ötösével ismétlődnek a végződések. (Ez igazolható, ha \(\displaystyle n\) értékét \(\displaystyle 10a+x\) alakban írjuk, ahol \(\displaystyle a\) természetes szám, \(\displaystyle x\) pedig számjegy. \(\displaystyle (10a+x)(10a+(x+1))=100a+10a(2x+1)+x(x+1)\). A szorzat utolsó számjegyét az \(\displaystyle x(x+1)\), vagyis két egymást követő számjegy szorzatának utolsó számjegye adja. Az összes szorzatot kiszámolva a fenti sorozatot kapjuk.) A periódusban az összeg 10, ezért 201 periódusra van szükségünk, ami \(\displaystyle 5\cdot 201=1005\) szorzatot jelent. Mivel az utolsó két végződés 0, ezért a szorzatok száma: 1003, 1004 vagy 1005 lehetett.


Statistics:

195 students sent a solution.
6 points:79 students.
5 points:2 students.
4 points:76 students.
3 points:28 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley