Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 231. (December 2009)

K. 231. If the last digits of the products 1.2, 2.3, 3.4, ..., n(n+1) are added, the result is 2010. How many products are used?

(6 pont)

Deadline expired on January 11, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A végződések: 2, 6, 2, 0, 0, 2, 6, 2, 0, 0,... . Vagyis ötösével ismétlődnek a végződések. (Ez igazolható, ha \(\displaystyle n\) értékét \(\displaystyle 10a+x\) alakban írjuk, ahol \(\displaystyle a\) természetes szám, \(\displaystyle x\) pedig számjegy. \(\displaystyle (10a+x)(10a+(x+1))=100a+10a(2x+1)+x(x+1)\). A szorzat utolsó számjegyét az \(\displaystyle x(x+1)\), vagyis két egymást követő számjegy szorzatának utolsó számjegye adja. Az összes szorzatot kiszámolva a fenti sorozatot kapjuk.) A periódusban az összeg 10, ezért 201 periódusra van szükségünk, ami \(\displaystyle 5\cdot 201=1005\) szorzatot jelent. Mivel az utolsó két végződés 0, ezért a szorzatok száma: 1003, 1004 vagy 1005 lehetett.


Statistics:

195 students sent a solution.
6 points:79 students.
5 points:2 students.
4 points:76 students.
3 points:28 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2009