Problem K. 231. (December 2009)
K. 231. If the last digits of the products 1.2, 2.3, 3.4, ..., n(n+1) are added, the result is 2010. How many products are used?
(6 pont)
Deadline expired on January 11, 2010.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A végződések: 2, 6, 2, 0, 0, 2, 6, 2, 0, 0,... . Vagyis ötösével ismétlődnek a végződések. (Ez igazolható, ha \(\displaystyle n\) értékét \(\displaystyle 10a+x\) alakban írjuk, ahol \(\displaystyle a\) természetes szám, \(\displaystyle x\) pedig számjegy. \(\displaystyle (10a+x)(10a+(x+1))=100a+10a(2x+1)+x(x+1)\). A szorzat utolsó számjegyét az \(\displaystyle x(x+1)\), vagyis két egymást követő számjegy szorzatának utolsó számjegye adja. Az összes szorzatot kiszámolva a fenti sorozatot kapjuk.) A periódusban az összeg 10, ezért 201 periódusra van szükségünk, ami \(\displaystyle 5\cdot 201=1005\) szorzatot jelent. Mivel az utolsó két végződés 0, ezért a szorzatok száma: 1003, 1004 vagy 1005 lehetett.
Statistics:
195 students sent a solution. 6 points: 79 students. 5 points: 2 students. 4 points: 76 students. 3 points: 28 students. 0 point: 3 students. Unfair, not evaluated: 7 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2009