A K. 231. feladat (2009. december)

K. 231. Az 1^.2, 2^.3, 3^.4, ..., n(n+1) szorzatok utolsó számjegyeit összeadva 2010 lett az összeg. Hány szorzat végződését adhattuk össze?

(6 pont)

A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A végződések: 2, 6, 2, 0, 0, 2, 6, 2, 0, 0,... . Vagyis ötösével ismétlődnek a végződések. (Ez igazolható, ha \(\displaystyle n\) értékét \(\displaystyle 10a+x\) alakban írjuk, ahol \(\displaystyle a\) természetes szám, \(\displaystyle x\) pedig számjegy. \(\displaystyle (10a+x)(10a+(x+1))=100a+10a(2x+1)+x(x+1)\). A szorzat utolsó számjegyét az \(\displaystyle x(x+1)\), vagyis két egymást követő számjegy szorzatának utolsó számjegye adja. Az összes szorzatot kiszámolva a fenti sorozatot kapjuk.) A periódusban az összeg 10, ezért 201 periódusra van szükségünk, ami \(\displaystyle 5\cdot 201=1005\) szorzatot jelent. Mivel az utolsó két végződés 0, ezért a szorzatok száma: 1003, 1004 vagy 1005 lehetett.

Statisztika:

195 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	79 versenyző.
5 pontot kapott:	2 versenyző.
4 pontot kapott:	76 versenyző.
3 pontot kapott:	28 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.

A KöMaL 2009. decemberi matematika feladatai