KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem K. 234. (December 2009)

K. 234. A square is drawn on the outside of each side of a rectangle with given perimeter. What should be the dimensions of the rectangle to minimize the area of the dodecagon obtained?

(6 pont)

Deadline expired on 11 January 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A téglalap oldalainak hossza legyen \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\), a kerülete állandó: \(\displaystyle 2a+2b=2(a+b)\), tehát \(\displaystyle a+b=s\) is állandó, amiből pl. \(\displaystyle b=s-a\). A területek összege \(\displaystyle 2a^2 + 2(s-a)^2 + a(s-a)= 3a^2- 3sa +2s^2=3(a-\frac 12 s)^2 + \frac 54 s^2\). Ez az összeg egy nemnegatív és egy pozitív tagból áll, ami akkor lesz a legkisebb, ha a nemnegatív tag \(\displaystyle 0\), azaz \(\displaystyle (a-\frac 12 s)=0\). Tehát a tizenkétszög területe akkor lesz minimális, ha a téglalap oldalai \(\displaystyle a=b=\frac 12 s\), vagyis a téglalap egy adott kerületű négyzet.


Statistics:

144 students sent a solution.
6 points:62 students.
5 points:4 students.
4 points:9 students.
3 points:2 students.
2 points:14 students.
0 point:44 students.
Unfair, not evaluated:9 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley