Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 238. (January 2010)

K. 238. The centre of the regular pentagon ABCDE is the point O. Each of the points A, B, C, D, E, O is coloured red, yellow, blue or green (each point is given a single colour), so that none of the triangles OAB, OBC, OCD, ODE, OEA has two vertices of the same colour. In how many different ways is that possible?

(6 pont)

Deadline expired on February 10, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Válasszunk \(\displaystyle O\)-nak színt, például a pirosat. Az ötszög csúcsat a maradék 3 színnel tudjuk kiszínezni. Válasszunk \(\displaystyle A\)-nak is színt, például sárgát. Ekkor sem \(\displaystyle B\), sem \(\displaystyle E\) nem lehet sárga, mert bármely egymást követő két csúcs színe nem egyezhet meg. Ezért a következő színezések lehetségesek a továbbiakban

összesen 10 színezés, ha \(\displaystyle O\) és \(\displaystyle A\) színe tetszőleges különböző rögzített szín. Ezt a két színt \(\displaystyle 4\cdot 3=12\) féle képpen választhatjuk, a maradék csúcsokat pedig a fenti példa szerint 10-féle módon színezhetjük. Tehát az ötszög csúcsait a középpontjával együtt összesen 120 különböző módon festhetjük ki a kívánalmak szerint.


Statistics:

144 students sent a solution.
6 points:51 students.
4 points:5 students.
3 points:2 students.
2 points:47 students.
1 point:14 students.
0 point:16 students.
Unfair, not evaluated:9 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2010