A K. 238. feladat (2010. január)

K. 238. Az ABCDE szabályos ötszög középpontja az O pont. Az A, B, C, D, E, O pontokat úgy szeretnénk kiszínezni piros, sárga, kék vagy zöld színnel (egy pontot csak egy színnel), hogy az OAB, OBC, OCD, ODE, OEA háromszögek közül egyiknek se legyen két azonos színű csúcsa. Hányféleképpen színezhetjük ki a pontokat ennek megfelelően?

(6 pont)

A beküldési határidő 2010. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Válasszunk \(\displaystyle O\)-nak színt, például a pirosat. Az ötszög csúcsat a maradék 3 színnel tudjuk kiszínezni. Válasszunk \(\displaystyle A\)-nak is színt, például sárgát. Ekkor sem \(\displaystyle B\), sem \(\displaystyle E\) nem lehet sárga, mert bármely egymást követő két csúcs színe nem egyezhet meg. Ezért a következő színezések lehetségesek a továbbiakban

összesen 10 színezés, ha \(\displaystyle O\) és \(\displaystyle A\) színe tetszőleges különböző rögzített szín. Ezt a két színt \(\displaystyle 4\cdot 3=12\) féle képpen választhatjuk, a maradék csúcsokat pedig a fenti példa szerint 10-féle módon színezhetjük. Tehát az ötszög csúcsait a középpontjával együtt összesen 120 különböző módon festhetjük ki a kívánalmak szerint.

Statisztika:

144 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	51 versenyző.
4 pontot kapott:	5 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	47 versenyző.
1 pontot kapott:	14 versenyző.
0 pontot kapott:	16 versenyző.
Nem versenyszerű:	9 dolgozat.

A KöMaL 2010. januári matematika feladatai