Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

# Problem K. 240. (January 2010)

K. 240. A company of T members went on a trip to the countryside. Exactly half of them went on foot. The distance to the destination was T kilometres along the footpath, and they covered it in 1 hour. The other half of the company went by bike along another route. Their speed (not counting periods when they stopped) was T less than T times the speed of the walkers.

The bikers had to stop on their way for T minutes because of a flat tire, and later on they had to stop again, for T times as much time, because of a broken chain on another bike. When they continued the journey, a biker with no technical problems so far took the lead of the group for T minutesminutes, and then let somebody else to take the lead. Finally, the bikers arrived at the destination T minutes sooner than the walkers. How long was the footpath, and how long was the bike route?

(6 pont)

Deadline expired on February 10, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A megtett távolságokat mérjük $\displaystyle km$-ben, az eltelt időt órában és a sebességet $\displaystyle \displaystyle{\frac{km}{h}}$-ban. A feladat szerint a gyalogosok átlagsebessége $\displaystyle T$, a bicikliseké pedig $\displaystyle T^2-T$. A kerékpárút hosszát jelölje $\displaystyle x$, amit összesen

$\displaystyle \displaystyle{1-\frac{T}{60}}$

óra alatt tettek meg, beleszámolva a megállást is. Először $\displaystyle \displaystyle{\frac{T}{60}}h$-ra álltak meg, majd ennek $\displaystyle T$-szeresére, tehát a kerékpáron eltöltött idő összesen $\displaystyle \displaystyle{1-\frac{T}{60}\frac{T+T^2}{60}}h$. Az átlagsebességükre tehát a következő összefüggést kapjuk:

 (1) $\displaystyle \frac{x}{1-\frac{T}{60}\frac{T+T^2}{60}}=T^2-T.$

A feladat szerint tudjuk, hogy a $\displaystyle T$ tagú társaság fele ment gyalog, azaz $\displaystyle T$ páros pozitív egész. Másrészről két sérülés'' után még maradt épp'' biciklis, ezért $\displaystyle T/2\ge 3$, azaz $\displaystyle T\ge 6$.

(1) egyenletbeli tört $\displaystyle \displaystyle{\frac{60x}{60-2T-T^2}}$ alakra írható át, mely tört pozitív egész értékű,. Mivel $\displaystyle 60x$ pozitív, ezért nevezőjének is annak kell lennie, azaz $\displaystyle 60-2T-T^2>0$. Átalakítva kapjuk, hogy $\displaystyle (T+1)^2-59<0$, amiből figyelembe véve, hogy $\displaystyle T$ egész, $\displaystyle T+1\le 7$. A fenti megszorítás szerint $\displaystyle T=6$ lehet. (1)-ből $\displaystyle x$-t kifejezve és $\displaystyle T$-t behelyettesítve kajuk, hogy $\displaystyle x=6$.

Mind a gyalogos, mind a bicikliút 6km hosszú volt.

### Statistics:

 95 students sent a solution. 6 points: Bingler Arnold, Dankovics Viktor, Déri Tamás, Erdős Szilvia, Heimann Gergő, Horváth 0102 Dániel, Horváth 424 Orsolya, Iván Jonatán, Jenei Márk, Károly Péter Balázs, Katona 100 Bálint, Kedves Máté, Kelemen Bendegúz, Kertész Dávid, Kovács 555 Dániel, Kovács 737 Ármin, Kungl Nóra, Leitereg András, Marx Anita, Mezősi Máté, Nagy 021 Tibor, Németh 722 Noémi, Németh Márton, Pilinszki - Nagy Csongor, Rakovszky Dorina, Schrodt Ádám, Szabó 262 Lóránt, Székely Mátyás, Szeredi Levente Soma, Szkalisity Ábel, Tóth 315 Benedek, Tóth 826 Ábel, Tóth Endre, Tóth Márton, Tóth Máté, Tragor Márton, Ványi Richárd Mihály, Varga 149 Imre Károly, Vecsernyés Tamás, Végh Dávid András, Welsz Ágnes, Wiandt Zsófia. 5 points: 14 students. 4 points: 9 students. 3 points: 6 students. 2 points: 16 students. 1 point: 5 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2010