A K. 247. feladat (2010. március)

K. 247. Csipkerózsika életének első három évében átlagosan napi 14 órát aludt, utána 16 éves koráig napi 8 órát, majd a 16. születésnapjától, mikor az orsó megszúrta az ujját, 100 évig napi 24 órát. Egy mogyorós pele 5 hónapig (november 1-jétől március 31-ig) téli álmot alszik, az év többi részében pedig átlagosan napi 8 órát tölt ébren (éjjelente). Hány évi alvás után kellett volna felébresztenie a királyfinak Csipkerózsikát ahhoz, hogy a születésétől az ébredésig számított napi alvásátlaga megegyezzen egy mogyorós pele napi alvásátlagával? (Az egyszerűség kedvéért a számolás során hagyjuk figyelmen kívül a szökőéveket, azaz a februárt mindig 28 naposnak vegyük.)

(6 pont)

A beküldési határidő 2010. április 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A mogyorós pele napi alvásátlaga: \(\displaystyle (151\cdot 24+(365-151) \cdot 16) : 365 = \frac{7048}{365} \approx 19,31\). Csipkerózsikával kapcsolatban a következőt írhatjuk fel: \(\displaystyle (3\cdot 14\cdot 365 + 13\cdot 8\cdot 365 + x\cdot 24\cdot 365) : ((16+x) \cdot 365) = \frac{7048}{365}\). Ebből rendezéssel az \(\displaystyle 53290+8760x = 112768+7048x\) egyenletet kapjuk, ahonnan \(\displaystyle x = \frac{29739}{856}\approx 34,74\). Tehát 34,74 év, azaz kb. 34 év és 270 napnyi alvás után kell felébreszteni.

Statisztika:

107 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	74 versenyző.
5 pontot kapott:	15 versenyző.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2010. márciusi matematika feladatai