Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 254. (September 2010)

K. 254. A number M is divisible by 14, 15 and 175 but it is not divisible by 28, 45 and 1225. Given that M divides 44 100, find the possible values of M.

(6 pont)

Deadline expired on October 11, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel \(\displaystyle 14=2\cdot 7\), \(\displaystyle 15=3\cdot 5\) és \(\displaystyle 175=5^2\cdot 7\), ezért \(\displaystyle M\), nek osztója ezek legkisebb közös többszöröse is, azaz \(\displaystyle 2\cdot 3\cdot5^2\cdot 7=1050\).

Másrészről nem osztója \(\displaystyle M\)-nek a \(\displaystyle 28\) (de \(\displaystyle 14\) igen), tehát \(\displaystyle M\) nem osztható 4-gyel. Ugyanígy nem osztó a \(\displaystyle 45\) (de a \(\displaystyle 15\) igen), tehát \(\displaystyle M\) nem osztható 9-cel, harmadrészt nem osztó az \(\displaystyle 1225=25\cdot 49\) (de a \(\displaystyle 175\) igen), tehát \(\displaystyle M\) nem osztható 49-cel.

Az \(\displaystyle M\) osztója \(\displaystyle 44100\)-nak, ezért \(\displaystyle 1050\) (ami az \(\displaystyle M\) osztója) is osztója \(\displaystyle 44100\)-nak: \(\displaystyle 44100=1050\cdot 42=1050\cdot 2\cdot 3\cdot 7\). Ha \(\displaystyle M\) nagyobb \(\displaystyle 1050\)-nél, akkor annak legalább kétszerese vagy háromszorosa vagy hétszerese (illetve ezek többszöröse). Ezek egyike sem fordulhat elő, mert akkor \(\displaystyle M\) osztható lenne rendre 4-gyel vagy 9-cel vagy 49-cel.

Tehát \(\displaystyle M\) osztható \(\displaystyle 1050\)-nel, de nem többszöröse, ezért \(\displaystyle {\mathbf M=1050}\).


Statistics:

311 students sent a solution.
6 points:110 students.
5 points:45 students.
4 points:42 students.
3 points:40 students.
2 points:28 students.
1 point:18 students.
0 point:15 students.
Unfair, not evaluated:13 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2010