KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

K. 258. x is a positive integer, and the (positive) fraction \frac{1000-x}{1001} can be simplified. How many different values may x have?

(6 points)

This problem is for grade 9 students only.

Deadline expired on 11 October 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az &tex;\displaystyle \frac{1000-x}{1001}&xet; tört pontosan akkor egyszerűsíthető, ha a számláló &tex;\displaystyle 1000-x&xet;-nek és a nevező &tex;\displaystyle 1001&xet;-nek van közös 1-nél nagyobb osztója. Mivel &tex;\displaystyle 1001=7\cdot 11\cdot 13&xet;, ezért az 1-nél nagyobb osztói a &tex;\displaystyle 7&xet;, &tex;\displaystyle 11&xet;, &tex;\displaystyle 13&xet;, &tex;\displaystyle 77&xet;, &tex;\displaystyle 91&xet;, &tex;\displaystyle 143&xet; és &tex;\displaystyle 1001&xet;. Mivel &tex;\displaystyle x&xet; pozitív, ezért &tex;\displaystyle 1000-x&xet; kisebb &tex;\displaystyle 1001&xet;-nél, így az nem lehet sz osztója.

Az 1000-nél kisebb 7-tel osztható pozitív számok száma (7-től 994-ig) &tex;\displaystyle 994/7=142&xet;.

Az 1000-nél kisebb 11-gyel osztható pozitív számok száma (11-től 990-ig) &tex;\displaystyle 990/11=90&xet;.

Az 1000-nél kisebb 13-mal osztható pozitív számok száma (13-tól 988-ig) &tex;\displaystyle 988/13=76&xet;.

Az 1000-nél kisebb 77-tel osztható pozitív számok száma (77-től 924-ig) &tex;\displaystyle 924/77=12&xet;.

Az 1000-nél kisebb 91-gyel osztható pozitív számok száma (91-től 910-ig) &tex;\displaystyle 910/91=10&xet;.

Az 1000-nél kisebb 143-mal osztható pozitív számok száma (143-tól 858-ig) &tex;\displaystyle 858/143=6&xet;.

Amikor összeszámoltuk a 7-tel vagy a 11-gyel osztható számok számát, akkor mindkét esetben találkoztunk olyanokkal, melyek mindkettővel oszthatóak, azaz 77-tel is. Ugyanezt elmondhatjuk a másik két esetben (7 és 13, ill. 11 és 13) is. Például &tex;\displaystyle x=76&xet; esetében a &tex;\displaystyle 924&xet;-et a 7-tel osztható és a 11-gyel osztható számok között is megszámoltuk. Az olyan számok száma, melyek csak 7-tel oszthatóak, de 11-gyel nem &tex;\displaystyle 142-12=130&xet;. Olyan legfeljebb háromjegyű pozitív szám, mely 11-gyel osztható, de 7-tel nem &tex;\displaystyle 90-12=78&xet; darab van. Ugyanilyen módon a többi párra is megállapításokat tehetünk.

Mivel &tex;\displaystyle 7\cdot 11\cdot 13=1001>1000&xet;, egyetlen olyan számunk sem volt, melynek mind a 7, mind a 11 és mind a 13 osztója lett volna egyszerre. Ezért a következő halmazábrát rajzolhatjuk le, mely a különböző halmazok elemszámát tartalmazza:

Az 1000-nél kisebb 1001 1-nél nagyobb osztóival osztható számok összes száma &tex;\displaystyle 120+72+60+12+10+6=280&xet;.

A halmazábra elkészítése nélkül az ún. logikai szitával kiszámolva (ennek volt képiesített ás illusztrált változata a fenti ábra) a megfelelő számok száma &tex;\displaystyle 142+91+76-12-10-6+0=280&xet;.


Statistics on problem K. 258.
289 students sent a solution.
6 points:146 students.
5 points:13 students.
4 points:8 students.
3 points:18 students.
2 points:8 students.
1 point:64 students.
0 point:23 students.
Unfair, not evaluated:8 solutions.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2010

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program