K. 258. x is a positive integer, and the (positive) fraction can be simplified. How many different values may x have?

(6 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Az tört pontosan akkor egyszerűsíthető, ha a számláló 1000-x-nek és a nevező 1001-nek van közös 1-nél nagyobb osztója. Mivel 1001=7^.11^.13, ezért az 1-nél nagyobb osztói a 7, 11, 13, 77, 91, 143 és 1001. Mivel x pozitív, ezért 1000-x kisebb 1001-nél, így az nem lehet sz osztója.

Az 1000-nél kisebb 7-tel osztható pozitív számok száma (7-től 994-ig) 994/7=142.

Az 1000-nél kisebb 11-gyel osztható pozitív számok száma (11-től 990-ig) 990/11=90.

Az 1000-nél kisebb 13-mal osztható pozitív számok száma (13-tól 988-ig) 988/13=76.

Az 1000-nél kisebb 77-tel osztható pozitív számok száma (77-től 924-ig) 924/77=12.

Az 1000-nél kisebb 91-gyel osztható pozitív számok száma (91-től 910-ig) 910/91=10.

Az 1000-nél kisebb 143-mal osztható pozitív számok száma (143-tól 858-ig) 858/143=6.

Amikor összeszámoltuk a 7-tel vagy a 11-gyel osztható számok számát, akkor mindkét esetben találkoztunk olyanokkal, melyek mindkettővel oszthatóak, azaz 77-tel is. Ugyanezt elmondhatjuk a másik két esetben (7 és 13, ill. 11 és 13) is. Például x=76 esetében a 924-et a 7-tel osztható és a 11-gyel osztható számok között is megszámoltuk. Az olyan számok száma, melyek csak 7-tel oszthatóak, de 11-gyel nem 142-12=130. Olyan legfeljebb háromjegyű pozitív szám, mely 11-gyel osztható, de 7-tel nem 90-12=78 darab van. Ugyanilyen módon a többi párra is megállapításokat tehetünk.

Mivel 7^.11^.13=1001>1000, egyetlen olyan számunk sem volt, melynek mind a 7, mind a 11 és mind a 13 osztója lett volna egyszerre. Ezért a következő halmazábrát rajzolhatjuk le, mely a különböző halmazok elemszámát tartalmazza:

Az 1000-nél kisebb 1001 1-nél nagyobb osztóival osztható számok összes száma 120+72+60+12+10+6=280.

A halmazábra elkészítése nélkül az ún. logikai szitával kiszámolva (ennek volt képiesített ás illusztrált változata a fenti ábra) a megfelelő számok száma 142+91+76-12-10-6+0=280.

Statistics on problem K. 258. 288 students sent a solution. 6 points: 146 students. 5 points: 13 students. 4 points: 8 students. 3 points: 18 students. 2 points: 8 students. 1 point: 64 students. 0 point: 23 students. Unfair, not evaluated: 8 solutions.