KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

K. 258. x is a positive integer, and the (positive) fraction \frac{1000-x}{1001} can be simplified. How many different values may x have?

(6 points)

This problem is for grade 9 students only.

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Az \frac{1000-x}{1001} tört pontosan akkor egyszerűsíthető, ha a számláló 1000-x-nek és a nevező 1001-nek van közös 1-nél nagyobb osztója. Mivel 1001=7.11.13, ezért az 1-nél nagyobb osztói a 7, 11, 13, 77, 91, 143 és 1001. Mivel x pozitív, ezért 1000-x kisebb 1001-nél, így az nem lehet sz osztója.

Az 1000-nél kisebb 7-tel osztható pozitív számok száma (7-től 994-ig) 994/7=142.

Az 1000-nél kisebb 11-gyel osztható pozitív számok száma (11-től 990-ig) 990/11=90.

Az 1000-nél kisebb 13-mal osztható pozitív számok száma (13-tól 988-ig) 988/13=76.

Az 1000-nél kisebb 77-tel osztható pozitív számok száma (77-től 924-ig) 924/77=12.

Az 1000-nél kisebb 91-gyel osztható pozitív számok száma (91-től 910-ig) 910/91=10.

Az 1000-nél kisebb 143-mal osztható pozitív számok száma (143-tól 858-ig) 858/143=6.

Amikor összeszámoltuk a 7-tel vagy a 11-gyel osztható számok számát, akkor mindkét esetben találkoztunk olyanokkal, melyek mindkettővel oszthatóak, azaz 77-tel is. Ugyanezt elmondhatjuk a másik két esetben (7 és 13, ill. 11 és 13) is. Például x=76 esetében a 924-et a 7-tel osztható és a 11-gyel osztható számok között is megszámoltuk. Az olyan számok száma, melyek csak 7-tel oszthatóak, de 11-gyel nem 142-12=130. Olyan legfeljebb háromjegyű pozitív szám, mely 11-gyel osztható, de 7-tel nem 90-12=78 darab van. Ugyanilyen módon a többi párra is megállapításokat tehetünk.

Mivel 7.11.13=1001>1000, egyetlen olyan számunk sem volt, melynek mind a 7, mind a 11 és mind a 13 osztója lett volna egyszerre. Ezért a következő halmazábrát rajzolhatjuk le, mely a különböző halmazok elemszámát tartalmazza:

Az 1000-nél kisebb 1001 1-nél nagyobb osztóival osztható számok összes száma 120+72+60+12+10+6=280.

A halmazábra elkészítése nélkül az ún. logikai szitával kiszámolva (ennek volt képiesített ás illusztrált változata a fenti ábra) a megfelelő számok száma 142+91+76-12-10-6+0=280.


Statistics on problem K. 258.
288 students sent a solution.
6 points:146 students.
5 points:13 students.
4 points:8 students.
3 points:18 students.
2 points:8 students.
1 point:64 students.
0 point:23 students.
Unfair, not evaluated:8 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2010

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program