A K. 268. feladat (2010. november) |
K. 268. Hány egységnyi annak a körnek a sugara, amelynek a 6 egység hosszú húrja kétszer olyan messze van a kör középpontjától, mint a 12 egység hosszú húrja?
(6 pont)
A beküldési határidő 2010. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A húrok szimmetriatengelye és a végpontokba a kör középpontjából húzott szakaszok derékszögű háromszögeket határoznak meg (ld. ábra), melyekben Pithagorasz tételét felírva: \(\displaystyle 4d^2 + 9 =r^2 = d^2 +36\), ahonnan \(\displaystyle d^2=9\), azaz (\(\displaystyle d>0\) miatt) \(\displaystyle d=3\). Ezért a kör sugara \(\displaystyle \sqrt 5\), a két húr távolsága pedig \(\displaystyle 3\sqrt 5\).
Statisztika:
204 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: 77 versenyző. 5 pontot kapott: 45 versenyző. 4 pontot kapott: 13 versenyző. 3 pontot kapott: 32 versenyző. 2 pontot kapott: 15 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 12 versenyző. Nem versenyszerű: 9 dolgozat.
A KöMaL 2010. novemberi matematika feladatai