Problem K. 270. (November 2010)

K. 270. A fair bookmaker only takes fair bets. For example, if you bet 3 to 5 on something, it means that you pay 3 if you lose and get 5 if you win, but in the long run no one gains anything on this bet. There are three horses running a race: Curse, Worse, and Hearse. The fair bookmaker takes 2 to 1 bets on Hearse winning the race, and 3 to 7 bets on Curse winning. (These are fair bets.) In what ratio can one bet on Worse coming in first?

(6 pont)

Deadline expired on December 10, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha \(\displaystyle x:y\) arányban lehet fogadni, akkor az azt jelenti, hogy \(\displaystyle x+y\) esetből várhatóan \(\displaystyle x\) alkalommal nyer, ha a bukméker becsületes. Ezért annak a valószínűsége, hogy Kaszáló nyer \(\displaystyle \frac 23\), annak, hogy Varázsló nyer \(\displaystyle \frac 3{10}\). Mivel biztosan nyer valaki, ezért annak a valószínűsége, hogy Hanyatló nyer \(\displaystyle 1-\frac 23-\frac 3{10}=\frac 1{30}\). Így Hanyatlóra \(\displaystyle 1:29\) arányban lehet fogadni.

Statistics:

97 students sent a solution.
6 points:	Antalicz Balázs, Árvay Júlia, Aszalós Eszter, Balogh Tamás, Csapodi Soma, Csibi Levente, Csóti Annamária, Englert Bence Brúnó, Fehér Zsuzsanna, Gyulánszki Dávid, Horváth 739 Anna, Illés Dániel, Imre Nóra, Jónás Judit, Katona Adrienn, Kecskeméti Ádám, Kiss 213 Tibor, Kóródi Brúnó Zoltán, Kovács Bence, Kovács Norbert Krisztián, Kozma Milán, Köpenczei Réka, Lévai Dániel, Lőrinczy Zsófia Noémi, Madács Ágnes, Makk László, Németh Klára Anna, Ötvös Máté, Pogány Zsombor, Prajczer Petra, Rovó Judit, Sárvári Péter, Somogyvári Kristóf, Szádoczki Zsombor, Székely Ádám, Szemesi Péter, Szűcs Virág, Tihanyi Dániel, Várkonyi Balázs, Vörös Zoltán János.
5 points:	Domucza Katalin, Illyés Marcell, Kisvárdai Richárd, Pham Thi Ngoc Diep, Tarnay Mátyás, Temesvári Fanni, Vuchetich Gábor.
4 points:	5 students.
3 points:	2 students.
2 points:	4 students.
1 point:	7 students.
0 point:	29 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2010