KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years



Order KöMaL!

Competitions Portal

K. 272. P is a point on the hypotenuse AB of a right-angled triangle ABC, such that AC=AP. Q is a point on the line segment AP, such that PCQ\sphericalangle
=45^\circ. Prove that triangle CQB is isosceles.

(6 points)

This problem is for grade 9 students only.

Deadline expired on 10 January 2011.

Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Jelöljük az &tex;\displaystyle A&xet; csúcsnál levő szöget &tex;\displaystyle \alpha&xet;-val és számoljuk ki a szögeket. Az &tex;\displaystyle APC\triangle&xet; egyenlőszárú a feladat szerint, csúcssöge &tex;\displaystyle \alpha&xet;, ezért &tex;\displaystyle APC\angle = 90^\circ - \frac\alpha 2&xet;. &tex;\displaystyle PCQ\triangle&xet;-ben &tex;\displaystyle PQC\angle=180^\circ-(45^\circ + 90^\circ - \frac\alpha 2)=45^\circ + \frac\alpha 2&xet;. Ez a szög az egyik külső szöge &tex;\displaystyle QCA\triangle&xet;-nek, ezért &tex;\displaystyle QCA\angle=45^\circ + \frac\alpha 2 - \alpha=45^\circ - \frac\alpha 2&xet;. &tex;\displaystyle QCB\angle&xet; az előző szög pótszöge, azaz &tex;\displaystyle QCB\angle=45^\circ + \frac\alpha 2&xet;. Mivel a &tex;\displaystyle BCQ\triangle&xet;-ben a &tex;\displaystyle C&xet;-nél és a &tex;\displaystyle Q&xet;-nál levő szög megegyezik, ezért a &tex;\displaystyle BCQ\triangle&xet; egyenlőszárú.

Statistics on problem K. 272.
185 students sent a solution.
6 points:119 students.
5 points:18 students.
4 points:8 students.
3 points:5 students.
2 points:6 students.
1 point:5 students.
0 point:20 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2010

  • Our web pages are supported by:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma  
    OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   Nemzeti TehetsĂ©g Program     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley