Problem K. 272.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

K. 272. P is a point on the hypotenuse AB of a right-angled triangle ABC, such that AC=AP. Q is a point on the line segment AP, such that $PCQ\sphericalangle =45^\circ$ . Prove that triangle CQB is isosceles.

(6 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Jelöljük az A csúcsnál levő szöget $\alpha$ -val és számoljuk ki a szögeket. Az $APC\triangle$ egyenlőszárú a feladat szerint, csúcssöge $\alpha$ , ezért $APC\triangle = 90^\circ - \frac\alpha 2$ . $PCQ\triangle$ -ben $PQC\angle=180^\circ-(45^\circ + 90^\circ - \frac\alpha 2)=45^\circ + \frac\alpha 2$ . Ez a szög az egyik külső szöge $QCA\triangle$ -nek, ezért $QCA\angle=45^\circ + \frac\alpha 2 - \alpha=45^\circ - \frac\alpha 2$ . QCB $\angle$ az előző szög pótszöge, azaz $QCB\angle=45^\circ + \frac\alpha 2$ . Mivel a $BCQ\triangle$ -ben a C-nél és a Q-nál levő szög megegyezik, ezért a $BCQ\triangle$ egyenlőszárú.

Statistics on problem K. 272.

185 students sent a solution.

6 points: 119 students.

5 points: 18 students.

4 points: 8 students.

3 points: 5 students.

2 points: 6 students.

1 point: 5 students.

0 point: 20 students.

Unfair, not evaluated: 4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2010

Our web pages are supported by:

ELTE