KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem K. 272. (December 2010)

K. 272. P is a point on the hypotenuse AB of a right-angled triangle ABC, such that AC=AP. Q is a point on the line segment AP, such that PCQ\sphericalangle
=45^\circ. Prove that triangle CQB is isosceles.

(6 pont)

Deadline expired on 10 January 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük az \(\displaystyle A\) csúcsnál levő szöget \(\displaystyle \alpha\)-val és számoljuk ki a szögeket. Az \(\displaystyle APC\triangle\) egyenlőszárú a feladat szerint, csúcssöge \(\displaystyle \alpha\), ezért \(\displaystyle APC\angle = 90^\circ - \frac\alpha 2\). \(\displaystyle PCQ\triangle\)-ben \(\displaystyle PQC\angle=180^\circ-(45^\circ + 90^\circ - \frac\alpha 2)=45^\circ + \frac\alpha 2\). Ez a szög az egyik külső szöge \(\displaystyle QCA\triangle\)-nek, ezért \(\displaystyle QCA\angle=45^\circ + \frac\alpha 2 - \alpha=45^\circ - \frac\alpha 2\). \(\displaystyle QCB\angle\) az előző szög pótszöge, azaz \(\displaystyle QCB\angle=45^\circ + \frac\alpha 2\). Mivel a \(\displaystyle BCQ\triangle\)-ben a \(\displaystyle C\)-nél és a \(\displaystyle Q\)-nál levő szög megegyezik, ezért a \(\displaystyle BCQ\triangle\) egyenlőszárú.


Statistics:

185 students sent a solution.
6 points:119 students.
5 points:18 students.
4 points:8 students.
3 points:5 students.
2 points:6 students.
1 point:5 students.
0 point:20 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley