A K. 273. feladat (2010. december)

K. 273. Egy hosszú egyenes csőben van egy egér, a cső 3/8 részénél. Egy macska a cső egyenesének meghosszabbításában áll, a cső azon végéhez közelebb, melyhez az egér is közelebb van. Meglátja az egeret, és elkezd futni a cső felé, ugyanebben a pillanatban az egér is elkezd futni a cső valamelyik vége felé (mindkét állat egyenletes sebességgel szalad). Azonban az egér nem tud elmenekülni, a cső bármelyik végéhez is indul, a macska éppen a cső végénél elkapja mindkét esetben. Hányszor olyan gyorsan fut a macska, mint az egér?

(6 pont)

A beküldési határidő 2011. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk a következő jelöléseket: a Macska \(\displaystyle l\) távolságra van a cső végétől és \(\displaystyle v\) sebességgel fut. Az Egér a \(\displaystyle d\) hosszú cső belsejében ül és \(\displaystyle u\) sebességgel menekül. Az üldözés időtartama akkor, ha egymás felé kezdenek el futni \(\displaystyle \frac lv =\frac{3 \over 8 d}u\), ha az Egér a távolabbi csővég felé kezd menekülni, akkor \(\displaystyle \frac{l+d}v=\frac{5 \over 8 d}u\). Az elsőből \(\displaystyle l=\frac vu \cdot \frac 38 d\), amit a második egyenlőségbe beírva \(\displaystyle \frac vu \cdot \frac 38 d +d=\frac vu \cdot \frac 58 d\), ahonnan (\(\displaystyle d\ne 0\)) \(\displaystyle \frac vu=4\). A Macska négyszer olyan gyorsan fut, mint az Egér.

Statisztika:

222 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	176 versenyző.
5 pontot kapott:	6 versenyző.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2010. decemberi matematika feladatai