Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 279. feladat (2011. január)

K. 279. Anna, Bea, Csilla és Dóri 52 lapos kártyacsomaggal kártyázott. Az egyik körben Dóri osztott. Egyesével adta a lapokat a résztvevőknek Anna, Bea, Csilla és Dóri sorrendben, amikor hirtelen kiesett néhány kártya a kezében levő, még kiosztatlan lapok közül a padlóra. Észrevették, hogy a padlón levő lapok darabszáma éppen az Annának már kiosztott lapok darabszámának 2/3 része, a Csillának már kiosztott lapok darabszáma pedig a Dóri kezében maradt, még ki nem osztott lapok darabszámának 2/3 része. Hány lapot osztott már ki Dóri összesen?

(6 pont)

A beküldési határidő 2011. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Készítsünk táblázatot a lapok számáról a szerint, hogy mikor estek ki a lapok Dóri kezéből, továbbá használjuk feladat feltételeit is:

mikor Anna Bea Csilla Dóri leesett maradék összesen (52)
Dóri után \(\displaystyle k\) \(\displaystyle k\) \(\displaystyle k\) \(\displaystyle k\) \(\displaystyle \frac 23 k\) \(\displaystyle \frac 32 k\) \(\displaystyle \frac{37}{6} k\)
Csilla után \(\displaystyle k\) \(\displaystyle k\) \(\displaystyle k\) \(\displaystyle k-1\) \(\displaystyle \frac 23 k\) \(\displaystyle \frac 32 k\) \(\displaystyle \frac{37}{6} k-1\)
Bea után \(\displaystyle k\) \(\displaystyle k\) \(\displaystyle k-1\) \(\displaystyle k-1\) \(\displaystyle \frac 23 k\) \(\displaystyle \frac 32 (k-1)\) \(\displaystyle \frac{37}{6} k-\frac 72\)
Anna után \(\displaystyle k\) \(\displaystyle k-1\) \(\displaystyle k-1\) \(\displaystyle k-1\) \(\displaystyle \frac 23 k\) \(\displaystyle \frac 32 (k-1)\) \(\displaystyle \frac{37}{6} k-\frac 92\)

Az utolsó oszlopban szereplő kifejezés értéke 52, ahonnan soronként a \(\displaystyle k=8,432;\ 8,595;\ 9;\ 9,162\) adódik. Mivel a kiosztott lapok száma egész, ezért a harmadik sorban leírt esemény történt: Dóri kiosztott 8 kört, majd Annának és Beának a kilencedik lapot, ezután leejtett a földre 6 darabot, a kezében pedig maradt 12 kártya.

Dóri összesen 34 lapot osztott ki.

Statisztika:

132 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:64 versenyző.
5 pontot kapott:29 versenyző.
4 pontot kapott:9 versenyző.
3 pontot kapott:12 versenyző.
2 pontot kapott:8 versenyző.
1 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.

A KöMaL 2011. januári matematika feladatai