Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem K. 282. (January 2011)

K. 282. A triangle is built out of matchsticks. The lengths of the sides are 13, 20, and 21 matches. Find the lengths of those altitudes of the triangle (if any) that can be represented with a whole number of matchsticks.

(6 pont)

Deadline expired on February 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás A háromszög kerülete \(\displaystyle k=54\), azaz a félkerülete \(\displaystyle s=27\). Heron területképletét alkalmazva \(\displaystyle t=\sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)}=\sqrt{3\cdot 9\cdot 2\cdot 7\cdot 7 \cdot 2 \cdot 3}=3\cdot 3\cdot 2\cdot 7=126\). A háromszög területét másként egy oldal és a hozzá tartozó magasság szorzataának feleként is megkaphatjuk, ezért tetszőleges oldahoz a magasság \(\displaystyle m=\frac{2t}{a}=\frac{252}{a}\), ahol \(\displaystyle a\) 13, 20 vagy 21 lehet. Mivel a magasságot egész gyufaszálakból akarjuk kirakni, és tekintve, hogy 252 nem osztható 13-mal és 20-szal: csak a 21 gyufaszálból kirakott oldalhoz tartozó magasságot tudjuk kirakni, mégpedig 12 gyufából.

2. megoldás A háromszög egy \(\displaystyle a\) hosszúságú oldalát a magasság talppontja bontsa \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle a-x\) nagyságú részekre. Ha a magasság \(\displaystyle m\), akkor a magasságvonal által meghatározott két derékszögű háromszögben írjuk fel Pithagorasz tételét: \(\displaystyle x^2+m^2=b^2\) és \(\displaystyle (a-x)^2+m^2=c^2\), ahol \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) jelölje a háromszög másik két oldalának hosszát. A két egyenlet különbségéből \(\displaystyle a^2-2ax=c^2-b^2\), ahonnan \(\displaystyle x=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}\). Ezt mindhárom oldalra kiszámolva és visszahelyettesítve csak a 21 gyufás oldalhoz tartozó magasság lesz egész. Másrészről, ha \(\displaystyle x\)-t visszahelyettesítjük az első egyenletbe: \(\displaystyle m^2=b^2-x^2=b^2-\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2}=\frac{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2}=\frac{(2ab-(a^2+b^2-c^2))(2ab+a^2+b^2-c^2)}{4a^2}=\frac{(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}{4a^2}\)-t kapjuk, (amivel kiszámoltuk Heron képletét). A kifejezés négyzetgyöke \(\displaystyle \frac{504}{2a}=\frac{252}a\). Ez a tört csak akkor lesz egész, ha \(\displaystyle a=21\): ekkor \(\displaystyle m=12\).


Statistics:

193 students sent a solution.
6 points:86 students.
5 points:52 students.
4 points:17 students.
3 points:5 students.
2 points:11 students.
1 point:6 students.
0 point:10 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2011