KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

K. 282. A triangle is built out of matchsticks. The lengths of the sides are 13, 20, and 21 matches. Find the lengths of those altitudes of the triangle (if any) that can be represented with a whole number of matchsticks.

(6 points)

This problem is for grade 9 students only.

Deadline expired on 10 February 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

1. megoldás A háromszög kerülete &tex;\displaystyle k=54&xet;, azaz a félkerülete &tex;\displaystyle s=27&xet;. Heron területképletét alkalmazva &tex;\displaystyle t=\sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)}=\sqrt{3\cdot 9\cdot 2\cdot 7\cdot 7 \cdot 2 \cdot 3}=3\cdot 3\cdot 2\cdot 7=126&xet;. A háromszög területét másként egy oldal és a hozzá tartozó magasság szorzataának feleként is megkaphatjuk, ezért tetszőleges oldahoz a magasság &tex;\displaystyle m=\frac{2t}{a}=\frac{252}{a}&xet;, ahol &tex;\displaystyle a&xet; 13, 20 vagy 21 lehet. Mivel a magasságot egész gyufaszálakból akarjuk kirakni, és tekintve, hogy 252 nem osztható 13-mal és 20-szal: csak a 21 gyufaszálból kirakott oldalhoz tartozó magasságot tudjuk kirakni, mégpedig 12 gyufából.

2. megoldás A háromszög egy &tex;\displaystyle a&xet; hosszúságú oldalát a magasság talppontja bontsa &tex;\displaystyle x&xet; és &tex;\displaystyle a-x&xet; nagyságú részekre. Ha a magasság &tex;\displaystyle m&xet;, akkor a magasságvonal által meghatározott két derékszögű háromszögben írjuk fel Pithagorasz tételét: &tex;\displaystyle x^2+m^2=b^2&xet; és &tex;\displaystyle (a-x)^2+m^2=c^2&xet;, ahol &tex;\displaystyle b&xet; és &tex;\displaystyle c&xet; jelölje a háromszög másik két oldalának hosszát. A két egyenlet különbségéből &tex;\displaystyle a^2-2ax=c^2-b^2&xet;, ahonnan &tex;\displaystyle x=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}&xet;. Ezt mindhárom oldalra kiszámolva és visszahelyettesítve csak a 21 gyufás oldalhoz tartozó magasság lesz egész. Másrészről, ha &tex;\displaystyle x&xet;-t visszahelyettesítjük az első egyenletbe: &tex;\displaystyle m^2=b^2-x^2=b^2-\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2}=\frac{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2}=\frac{(2ab-(a^2+b^2-c^2))(2ab+a^2+b^2-c^2)}{4a^2}=\frac{(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}{4a^2}&xet;-t kapjuk, (amivel kiszámoltuk Heron képletét). A kifejezés négyzetgyöke &tex;\displaystyle \frac{504}{2a}=\frac{252}a&xet;. Ez a tört csak akkor lesz egész, ha &tex;\displaystyle a=21&xet;: ekkor &tex;\displaystyle m=12&xet;.


Statistics on problem K. 282.
193 students sent a solution.
6 points:86 students.
5 points:52 students.
4 points:17 students.
3 points:5 students.
2 points:11 students.
1 point:6 students.
0 point:10 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2011

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program