A K. 282. feladat (2011. január)

K. 282. Gyufaszálakból raktunk ki egy háromszöget. A háromszög oldalainak hossza 13, 20, illetve 21 gyufaszál. Adjuk meg (ha van) a háromszög azon magasságainak hosszát, amelyek kirakhatók egész gyufaszálakból.

(6 pont)

A beküldési határidő 2011. február 10-én LEJÁRT.

1. megoldás A háromszög kerülete \(\displaystyle k=54\), azaz a félkerülete \(\displaystyle s=27\). Heron területképletét alkalmazva \(\displaystyle t=\sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)}=\sqrt{3\cdot 9\cdot 2\cdot 7\cdot 7 \cdot 2 \cdot 3}=3\cdot 3\cdot 2\cdot 7=126\). A háromszög területét másként egy oldal és a hozzá tartozó magasság szorzataának feleként is megkaphatjuk, ezért tetszőleges oldahoz a magasság \(\displaystyle m=\frac{2t}{a}=\frac{252}{a}\), ahol \(\displaystyle a\) 13, 20 vagy 21 lehet. Mivel a magasságot egész gyufaszálakból akarjuk kirakni, és tekintve, hogy 252 nem osztható 13-mal és 20-szal: csak a 21 gyufaszálból kirakott oldalhoz tartozó magasságot tudjuk kirakni, mégpedig 12 gyufából.

2. megoldás A háromszög egy \(\displaystyle a\) hosszúságú oldalát a magasság talppontja bontsa \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle a-x\) nagyságú részekre. Ha a magasság \(\displaystyle m\), akkor a magasságvonal által meghatározott két derékszögű háromszögben írjuk fel Pithagorasz tételét: \(\displaystyle x^2+m^2=b^2\) és \(\displaystyle (a-x)^2+m^2=c^2\), ahol \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) jelölje a háromszög másik két oldalának hosszát. A két egyenlet különbségéből \(\displaystyle a^2-2ax=c^2-b^2\), ahonnan \(\displaystyle x=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}\). Ezt mindhárom oldalra kiszámolva és visszahelyettesítve csak a 21 gyufás oldalhoz tartozó magasság lesz egész. Másrészről, ha \(\displaystyle x\)-t visszahelyettesítjük az első egyenletbe: \(\displaystyle m^2=b^2-x^2=b^2-\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2}=\frac{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2}=\frac{(2ab-(a^2+b^2-c^2))(2ab+a^2+b^2-c^2)}{4a^2}=\frac{(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}{4a^2}\)-t kapjuk, (amivel kiszámoltuk Heron képletét). A kifejezés négyzetgyöke \(\displaystyle \frac{504}{2a}=\frac{252}a\). Ez a tört csak akkor lesz egész, ha \(\displaystyle a=21\): ekkor \(\displaystyle m=12\).

Statisztika:

193 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	86 versenyző.
5 pontot kapott:	52 versenyző.
4 pontot kapott:	17 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2011. januári matematika feladatai