Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 285. (February 2011)

K. 285. The ratio of the six-digit numbers \overline{abcabc} and \overline{ababab} is 55:54. Find the values of the digits a, b and c.

(6 pont)

Deadline expired on March 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feltétel szerint \(\displaystyle 54\cdot \overline{abcabc}=55\cdot \overline{ababab}\), azaz \(\displaystyle 54\cdot (100100a+10010b+1001c)=55\cdot (101010a+10101b)\). Mivel \(\displaystyle 54=2\cdot 3^3\), \(\displaystyle 55=5\cdot 11\), \(\displaystyle 1001=13\cdot 11\cdot 7\) és \(\displaystyle 10101=3\cdot 7\cdot 13 \cdot 37\), ezért 3003-mal osztva \(\displaystyle 18\cdot (100a+10b+1c)=5\cdot (370a+37b)\), azaz \(\displaystyle 18\overline{abc}=185\overline{ab}\). Mivel 185 és 18 relatív prímek ezért \(\displaystyle \overline{abc}=185k\) és \(\displaystyle \overline{ab}=18k\). \(\displaystyle k=1\) esetén \(\displaystyle a=1\), \(\displaystyle b=8\), \(\displaystyle c=5\) megoldás. Számolásunk szerint \(\displaystyle c\) csak 0 v. 5 lehet, de a feladat szerint \(\displaystyle a<c\), ezért \(\displaystyle a<c=5\) lehet csak. Így \(\displaystyle 59\ge 18k\) miatt \(\displaystyle k=3\) lehet még. Ekkor azonban \(\displaystyle a=b=c=5\) lenne, ami nem tesz eleget a feladat kívánalmainak.

Az eredeti számok a 185185 és 181818 voltak, azaz \(\displaystyle a=1\), \(\displaystyle b=8\), \(\displaystyle c=5\).


Statistics:

138 students sent a solution.
6 points:Antal István, Antalicz Balázs, Árvay Júlia, Aszalós Eszter, Balogh Tamás, Bátorfi János György, Csóti Annamária, Déri Tamás, Di Giovanni Márk, Doktor András, Domucza Katalin, Fehér Zsuzsanna, Francsics Fanny, Gosztonyi Dorottya, Gömbös Patrik, Gulis Dániel, Győrfi-Bátori András, Gyulánszki Dávid, Hoang Cuu Long, Kácsor Szabolcs, Katona Adrienn, Kiss 433 Ferenc, Kovács Norbert Krisztián, Kovács-Deák Máté, Lévai Botond Miklós, Nagy 718 Réka, Nagy 817 Krisztina, Németh Klára Anna, Pajor Péter, Pálya Zsófia, Persics Anna, Pogány Zsombor, Prajczer Petra, Rácz 413 Bence, Rovó Judit, Sánta Szilvia, Seller Károly, Somogyi Réka, Szelestei Dorottya, Szemesi Péter, Tekeli Miklós, Temesvári Fanni, Tihanyi Dániel, Tőkés Anna, Türr Viktor, Varga-Dudás Zsófia, Várhidi Zsóka, Vető Bálint, Vörös Zoltán János, Zoltán Éva Berta.
5 points:47 students.
4 points:23 students.
3 points:8 students.
2 points:5 students.
1 point:2 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2011