KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

K. 285. The ratio of the six-digit numbers \overline{abcabc} and \overline{ababab} is 55:54. Find the values of the digits a, b and c.

(6 points)

This problem is for grade 9 students only.

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A feltétel szerint &tex;\displaystyle 54\cdot \overline{abcabc}=55\cdot \overline{ababab}&xet;, azaz &tex;\displaystyle 54\cdot (100100a+10010b+1001c)=55\cdot (101010a+10101b)&xet;. Mivel &tex;\displaystyle 54=2\cdot 3^3&xet;, &tex;\displaystyle 55=5\cdot 11&xet;, &tex;\displaystyle 1001=13\cdot 11\cdot 7&xet; és &tex;\displaystyle 10101=3\cdot 7\cdot 13 \cdot 37&xet;, ezért 3003-mal osztva &tex;\displaystyle 18\cdot (100a+10b+1c)=5\cdot (370a+37b)&xet;, azaz &tex;\displaystyle 18\overline{abc}=185\overline{ab}&xet;. Mivel 185 és 18 relatív prímek ezért &tex;\displaystyle \overline{abc}=185k&xet; és &tex;\displaystyle \overline{ab}=18k&xet;. &tex;\displaystyle k=1&xet; esetén &tex;\displaystyle a=1&xet;, &tex;\displaystyle b=8&xet;, &tex;\displaystyle c=5&xet; megoldás. Számolásunk szerint &tex;\displaystyle c&xet; csak 0 v. 5 lehet, de a feladat szerint &tex;\displaystyle a<c&xet;, ezért &tex;\displaystyle a<c=5&xet; lehet csak. Így &tex;\displaystyle 59\ge 18k&xet; miatt &tex;\displaystyle k=3&xet; lehet még. Ekkor azonban &tex;\displaystyle a=b=c=5&xet; lenne, ami nem tesz eleget a feladat kívánalmainak.

Az eredeti számok a 185185 és 181818 voltak, azaz &tex;\displaystyle a=1&xet;, &tex;\displaystyle b=8&xet;, &tex;\displaystyle c=5&xet;.


Statistics on problem K. 285.
138 students sent a solution.
6 points:Antal István, Antalicz Balázs, Árvay Júlia, Aszalós Eszter, Balogh Tamás, Bátorfi János György, Csóti Annamária, Déri Tamás, Di Giovanni Márk, Doktor András, Domucza Katalin, Fehér Zsuzsanna, Francsics Fanny, Gosztonyi Dorottya, Gulis Dániel, Győrfi-Bátori András, Gyulánszki Dávid, Gömbös Patrik, Hoang Cuu Long, Kácsor Szabolcs, Katona Adrienn, Kiss 433 Ferenc, Kovács Norbert Krisztián, Kovács-Deák Máté, Lévai Botond Miklós, Nagy 718 Réka, Nagy 817 Krisztina, Németh Klára Anna, Pajor Péter, Pálya Zsófia, Persics Anna, Pogány Zsombor, Prajczer Petra, Rácz 413 Bence, Rovó Judit, Sánta Szilvia, Seller Károly, Somogyi Réka, Szelestei Dorottya, Szemesi Péter, Tekeli Miklós, Temesvári Fanni, Tihanyi Dániel, Tőkés Anna, Türr Viktor, Varga-Dudás Zsófia, Várhidi Zsóka, Vető Bálint, Vörös Zoltán János, Zoltán Éva Berta.
5 points:47 students.
4 points:23 students.
3 points:8 students.
2 points:5 students.
1 point:2 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2011

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program