KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

K. 286. Egy 3×3-as tábla minden mezőjére ráállítottunk egy törpét. A 9 mezőre összesen 2 hazudós, és 7 igazmondó törpe került. Az igazmondó törpék mindig igazat mondanak, a hazudós törpék pedig sosem mondanak igazat. Megkérdeztünk minden törpét, hogy az ő mezőjével oldalban szomszédos mezőkön összesen hány igazmondó törpe áll, és az alábbi válaszokat kaptuk (a könnyebb kezelhetőség érdekében betűkkel és számokkal jelöljük a tábla sorait és oszlopait):

Hol helyezkedhetnek el a hazudós törpék a táblán?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

A beküldési határidő 2011. március 10-én LEJÁRT.


1. megoldás. Kezdjük el A1 mezőnél, és tegyük fel, hogy az ott álló törpe igazmondó. Ezen feltételezés alapján A2 és B1 helyeken is igazmondó áll. Mivel B1 szomszédai közül csak egy igazmondó, ezért B2 és C1 helyeken hazugok állhatnak. Így A2 mellett csak A3 helyen, mellette B3 helyen, ami mellett C3 helyen majd C2 helyen áll igazmondó törpe. Másrészről C1 hely mellett 2, B2 mellett 4 igazmondó áll, tehát tényleg hazudósak az ott álló törpék. Ha A1 helyen hazudós törpe áll, akkor valamelyik szomszédja is hazudós. A2 nem lehet hazudós, mert ha az lenne, akkor még egy másik szomszédjának is hazudósnak kellene lennie. Ha B1-n is hazudós áll, akkor minden további mezőn igazmondónak kell lennie a feladat szerint. Ebben az esetben a C2-n álló törpének 3 igazmondó szomszédja van és nem 1, így biztosan nem így helyezkedtek el a törpék.

2. megoldás. Nézzük meg, hogy egy hazudós törpe jelenléte hogyan befolyásolja az igazmondó szomszédok számát. Ha nem lenne hazudós, akkor a mezőkbe a szomszédok számát írtuk volna: a 9 szám összege pedig 24 lenne. Ha igazmondó áll egy hazudós mellett, akkor az igazmondó 1-gyel kevesebbet mond, mint az összes szomszédjának száma. Ha két hazudós egymás mellett áll, akkor ők vagy az összes szomszédaik számát mondják, vagy kettővel kevesebbet. Az A1, C1, A3, C3 mezőket nevezzük csúcsoknak (c), melyeknek 2 szomszédjuk van; az A2, B1, C2, B3 mezőket éleknek (e), melyeknek 3 szomszédjuk van és végül B2 legyen középen (k) 4 szomszéddal. Ha a két hazudós egymás mellett áll, akkor a szomszédok (igazmondók) 1-gyel kevesebbet mondanak, ők vagy a szomszédok számát vagy kettővel kevesebbet. Így ha (c)(e)-n áll hazudós akkor legfeljebb 7-tel, ha (k)(e)-n áll hazudós , akkor legfeljebb 9-cel mondanak kevesebbet a csupa igazmondókhoz képest. A feladatbeli táblázatban a számok összege 16, ami 8-cal kevesebb a 24-nél, tehát (c)(e) hazudós pár nem fordulhat elő. Ugyanakkor az sem lehet, hogy középen és valamelyik szomszédoson álljon hazudós, mert akkor a feladat szerint a középen álló igazat mond. tehát csak az történhetett, hogy középen és az egyik csúcsban áll hazudós törpe. Mivel ekkor az éleken igazmondóak állnak, ezért következik, hogy C1 csúcsban áll hazudós.


A K. 286. feladat statisztikája
167 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:90 versenyző.
5 pontot kapott:7 versenyző.
4 pontot kapott:38 versenyző.
3 pontot kapott:17 versenyző.
2 pontot kapott:12 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.


  • A KöMaL 2011. februári matematika feladatai

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley