KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

K. 295. How many digits does the number 2011201020092008...10987654321 have? Is it divisible by 3?

(6 points)

This problem is for grade 9 students only.

Deadline expired on 10 October 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A feladatbeli számot (jelöljük \(\displaystyle K\)-val) felépítő számokat csoportosítsuk számjegyeik száma szerint: 1-től 9-ig 9db egyjegyű, 10-től 99-ig 100db kétjegyű, 100-tól 999-ig 1000db háromjegyű és 1000-től 2011-ig 1012db négyjegyű. Ezek szerint \(\displaystyle K\) jegyeinek száma \(\displaystyle 9\cdot 1 + 100\cdot 2 + 1000\cdot 3 + 1012\cdot 4={\mathbf 7257}\). \(\displaystyle K\) pontosan akor osztható hárommal, ha számjegyei összege osztható hárommal. 0-tól 9-ig a számjegyek összege \(\displaystyle s=45\). 0-től 999-ig minden számjegy pontosan 100-szor szerepelt, 1000-től 1999-ig ismét 100-szor, az 1-t kivéve, ami 1100-szor. 2000-től 2011-ig a számjegyek összege \(\displaystyle 12\cdot 2 + 2\cdot 1 + s=71\). Tehát \(\displaystyle K\) számjegyeinek összege \(\displaystyle 200s+1000+71=10071\), ami osztható 3-mal (mert számjegyeinek összeg 9).


Statistics on problem K. 295.
321 students sent a solution.
6 points:121 students.
5 points:53 students.
4 points:26 students.
3 points:22 students.
2 points:60 students.
1 point:14 students.
0 point:23 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley