A K. 295. feladat (2011. szeptember)

K. 295. Hány jegyű a 2011201020092008...10987654321 szám? Osztható-e ez a szám 3-mal?

(6 pont)

A beküldési határidő 2011. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A feladatbeli számot (jelöljük \(\displaystyle K\)-val) felépítő számokat csoportosítsuk számjegyeik száma szerint: 1-től 9-ig 9db egyjegyű, 10-től 99-ig 100db kétjegyű, 100-tól 999-ig 1000db háromjegyű és 1000-től 2011-ig 1012db négyjegyű. Ezek szerint \(\displaystyle K\) jegyeinek száma \(\displaystyle 9\cdot 1 + 100\cdot 2 + 1000\cdot 3 + 1012\cdot 4={\mathbf 7257}\). \(\displaystyle K\) pontosan akor osztható hárommal, ha számjegyei összege osztható hárommal. 0-tól 9-ig a számjegyek összege \(\displaystyle s=45\). 0-től 999-ig minden számjegy pontosan 100-szor szerepelt, 1000-től 1999-ig ismét 100-szor, az 1-t kivéve, ami 1100-szor. 2000-től 2011-ig a számjegyek összege \(\displaystyle 12\cdot 2 + 2\cdot 1 + s=71\). Tehát \(\displaystyle K\) számjegyeinek összege \(\displaystyle 200s+1000+71=10071\), ami osztható 3-mal (mert számjegyeinek összeg 9).

Statisztika:

320 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	121 versenyző.
5 pontot kapott:	53 versenyző.
4 pontot kapott:	26 versenyző.
3 pontot kapott:	22 versenyző.
2 pontot kapott:	59 versenyző.
1 pontot kapott:	14 versenyző.
0 pontot kapott:	23 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2011. szeptemberi matematika feladatai