Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 302. (October 2011)

K. 302. Find all natural numbers, such that the third and fourth powers of the number together contain each digit exactly once.

(6 pont)

Deadline expired on November 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel 10 különböző természetes szám van, így olyan számot kell keresnünk, aminek köbe és negyedik hatványa számjegyeinek száma összesen 10. A számnak 17-nél nagyobbnak kell lennie, mert \(\displaystyle 17^3 = 4913\) 4-jegyű, \(\displaystyle 17^4 = 83521\) pedig 5-jegyű, ami csak 9 számjegy. A \(\displaystyle 18^3 = 5832\) még szintén 4-jegyű, de \(\displaystyle 18^4 = 104976\) már 6-jegyű. A két számban együtt pedig minden számjegy pontosan egyszer fordul elő! Azonban lehet, hogy akad más jó szám is. A 19, 20, 21 hatványaiban a számjegyek számának összege megfelelne, ám nem szerepel az összes számjegy (és így van, ami pedig többször is). \(\displaystyle 22^3 = 10648\), pedig már 5-jegyű, \(\displaystyle 22^4 = 234256\) meg 6-jegyű, így ez és az ennél nagyobb számok már nem jöhetnek szóba.


Statistics:

222 students sent a solution.
6 points:91 students.
5 points:29 students.
4 points:39 students.
3 points:9 students.
2 points:31 students.
1 point:5 students.
0 point:11 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2011