KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem K. 309. (November 2011)

K. 309. The plane is divided into four parts by two intersecting lines. The measures of the four angles in degrees are 5x-9, 4x+27, x+y-30, y-x+3z, not necessarily in this order. What may be the four angles?

(6 pont)

Deadline expired on 12 December 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. 1) Ha az \(\displaystyle 5x–9^\circ\) és a \(\displaystyle 4x+27^\circ\) nagyságú szög egymással szemben fekszik, akkor mivel csúcsszögek, egyenlők, amiből \(\displaystyle x=36^\circ\), a szögek pedig \(\displaystyle 171^\circ\)-osak. Így a másik két szög egyaránt \(\displaystyle 9^\circ\)-os kell legyen, ahonnan \(\displaystyle x+y–30^\circ=9^\circ\)-ból \(\displaystyle 36^\circ+y–30^\circ=9^\circ,\ y=3^\circ\). Valamint az \(\displaystyle y–x+3z=9^\circ\)-ból \(\displaystyle 3^\circ–36^\circ+3z=9^\circ,\ z=14^\circ\).

2) Ha az \(\displaystyle 5x–9^\circ\) és a \(\displaystyle 4x+27^\circ\) nagyságú szög egymás mellett fekszik, akkor \(\displaystyle 180^\circ\)-ra egészítik ki egymást, amiből \(\displaystyle x=18^\circ\), a szögek pedig \(\displaystyle 81^\circ\) és \(\displaystyle 99^\circ\)-osak. Így a másik két szög is ekkora. Azonban abból, hogy melyik melyik, újabb két eset áll elő:

2a) Ha \(\displaystyle 81^\circ=x+y–30^\circ\), akkor \(\displaystyle 81^\circ=18^\circ+y–30^\circ-ból y=93^\circ\). Ekkor \(\displaystyle 99^\circ=y–x+3z\), behelyettesítve \(\displaystyle 99^\circ=93^\circ–18^\circ+3z\), ahonnan \(\displaystyle z=8^\circ\).

2b) Ha \(\displaystyle 99^\circ=x+y–30^\circ\), akkor \(\displaystyle 99^\circ=18^\circ+y–30^\circ\)-ból \(\displaystyle y=111^\circ\). Ekkor \(\displaystyle 81^\circ=y–x+3z\), behelyettesítve \(\displaystyle 81^\circ=111^\circ–18^\circ+3z\), ahonnan \(\displaystyle z=–4^\circ\) lenne, ami nyilván nem lehet.

Összefoglalva két megoldást kaptunk: \(\displaystyle x=36^\circ,\ y=3^\circ,\ z=14^\circ\) és \(\displaystyle x=18^\circ,\ y=93^\circ,\ z=8^\circ\).


Statistics:

206 students sent a solution.
6 points:73 students.
5 points:51 students.
4 points:6 students.
3 points:50 students.
2 points:10 students.
1 point:11 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley