Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem K. 317. (December 2011)

K. 317. What may be the number of acute angles among the interior angles of a convex polygon?

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Lehet 0, 1, 2, 3 hegyesszög. Nincs hegyesszöge pl. egy szabályos hatszögnek, 1 hegyesszöge van egy derékszögű trapéznak, ami nem téglalap, 2 hegyesszöge van egy tompaszögű háromszögnek, 3 hegyesszöge van egy hegyesszögű háromszögnek. Tegyük fel, hogy van olyan konvex sokszög, amiben van 4 hegyesszög. Ekkor ezek szögösszege kevesebb lenne, mint \(\displaystyle 360^{\circ}\), a maradék \(\displaystyle n–4\) db tompaszög összege pedig kevesebb lenne, mint \(\displaystyle (n–4)180^{\circ}\), így a belső szögek összege kevesebb lenne, mint \(\displaystyle (n–4)180^{\circ} + 360^{\circ} = (n–2)180^{\circ}\), amennyi éppen az \(\displaystyle n\) oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege. Tehát nem lehet egy konvex sokszögben 4 hegyesszög. Ha tovább növelnénk a hegyesszögek számát, akkor a belső szögek összege még kisebb lenne (hiszen tompaszögeket cserélnénk hegyesszögekre), ami szintén nem megvalósítható. Így egy konvex sokszög belső szögei között legfeljebb 3 hegyesszög lehet.


Statistics:

175 students sent a solution.
6 points:59 students.
5 points:10 students.
4 points:12 students.
3 points:13 students.
2 points:19 students.
1 point:30 students.
0 point:27 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2011