A K. 317. feladat (2011. december)

K. 317. Hány hegyesszög lehet egy konvex sokszög belső szögei között?

(6 pont)

A beküldési határidő 2012. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Lehet 0, 1, 2, 3 hegyesszög. Nincs hegyesszöge pl. egy szabályos hatszögnek, 1 hegyesszöge van egy derékszögű trapéznak, ami nem téglalap, 2 hegyesszöge van egy tompaszögű háromszögnek, 3 hegyesszöge van egy hegyesszögű háromszögnek. Tegyük fel, hogy van olyan konvex sokszög, amiben van 4 hegyesszög. Ekkor ezek szögösszege kevesebb lenne, mint \(\displaystyle 360^{\circ}\), a maradék \(\displaystyle n–4\) db tompaszög összege pedig kevesebb lenne, mint \(\displaystyle (n–4)180^{\circ}\), így a belső szögek összege kevesebb lenne, mint \(\displaystyle (n–4)180^{\circ} + 360^{\circ} = (n–2)180^{\circ}\), amennyi éppen az \(\displaystyle n\) oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege. Tehát nem lehet egy konvex sokszögben 4 hegyesszög. Ha tovább növelnénk a hegyesszögek számát, akkor a belső szögek összege még kisebb lenne (hiszen tompaszögeket cserélnénk hegyesszögekre), ami szintén nem megvalósítható. Így egy konvex sokszög belső szögei között legfeljebb 3 hegyesszög lehet.

Statisztika:

175 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	59 versenyző.
5 pontot kapott:	10 versenyző.
4 pontot kapott:	12 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	19 versenyző.
1 pontot kapott:	30 versenyző.
0 pontot kapott:	27 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2011. decemberi matematika feladatai