KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

K. 323. The apex angle of the isosceles triangle ABC is 120o, and the midpoint of base AB is F. The angle bisector of \angleACF intersects base AB at point H. a) Prove that AH=CH. b) Prove that AH is one-third of the line segment AB.

(6 points)

This problem is for grade 9 students only.

Deadline expired on 10 February 2012.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. a) Az \(\displaystyle ACF\) szög \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os, így az \(\displaystyle ACH\) szög \(\displaystyle 30^{\circ}\)-os, akárcsak a \(\displaystyle CAH\) szög. Az \(\displaystyle ACH\) tehát egyenlő szárú háromszög, így \(\displaystyle AH = CH\).

b) A \(\displaystyle CHF\) háromszög egy \(\displaystyle 30^{\circ}\)-\(\displaystyle 60^{\circ}\)-\(\displaystyle 90^{\circ}\)-os derékszögű háromszög, melyben \(\displaystyle CH = 2HF\). Mivel \(\displaystyle AH = CH\), ezért \(\displaystyle AH\) az \(\displaystyle AB\) szakasz felének kétharmada, azaz az \(\displaystyle AB\) szakasz harmada. Így \(\displaystyle H\) harmadolópont.

c) Az \(\displaystyle ACD\) háromszög egyenlő szárú, melynek szárszöge \(\displaystyle 150^{\circ}\)-os. Tehát a \(\displaystyle DAC\) és \(\displaystyle ADC\) szögek \(\displaystyle 15^{\circ}\)-osak. A \(\displaystyle BCD\) háromszög is egyenlő szárú, melynek szárszöge \(\displaystyle 90^{\circ}\)-os. Tehát a \(\displaystyle CDB\) és \(\displaystyle CBD\) szögek \(\displaystyle 45^{\circ}\)-osak. A szögek beírása után megkapjuk a választ: az \(\displaystyle ABD\) háromszög szögei: \(\displaystyle 45^{\circ}\), \(\displaystyle 75^{\circ}\), \(\displaystyle 60^{\circ}\).


Statistics on problem K. 323.
186 students sent a solution.
6 points:62 students.
5 points:45 students.
4 points:29 students.
3 points:21 students.
2 points:19 students.
1 point:6 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2012

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley