English Információ A lap Pontverseny Cikkek Hírek Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

K. 329. Given that x is a positive real number such that , determine the value of without finding the value of x.

(6 points)

This problem is for grade 9 students only.

Deadline expired on 12 March 2012.

Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Használjuk $\displaystyle \left( x + \frac {1}{x} \right)$ hatványait: $\displaystyle \left( x + \frac {1}{x} \right)^2=x^2 + \frac {1}{x^2} + 2 =7+2=9$, azaz ($\displaystyle x$ pozitív!) $\displaystyle x + \frac {1}{x}=3$. $\displaystyle \left( x + \frac {1}{x}\right)^5=x^5+5x^3+10x+\frac{10}x +\frac{5}{x^3}+\frac{1}{x^5}$, illetve $\displaystyle \left( x + \frac {1}{x} \right)^3=x^3+3x+\frac{3}{x} +\frac{1}{x^3}$. A harmadik hatványban felhasználva korábbi eredményünket $\displaystyle 3^3=x^3+\frac{1}{x^3}+3\cdot 3$, ahonnan $\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=27-9=18$. Ezt felhasználva nézzük az ötödik hatványt: $\displaystyle 3^5=x^5+\frac{1}{x^5}+5\cdot 18 +10 \cdot 3$, azaz $\displaystyle x^5+\frac{1}{x^5}=243-90-30=123$.

Statistics on problem K. 329.
 118 students sent a solution. 6 points: 67 students. 5 points: 27 students. 4 points: 1 student. 3 points: 2 students. 2 points: 2 students. 1 point: 5 students. 0 point: 13 students. Unfair, not evaluated: 1 solution.

• Problems in Mathematics of KöMaL, February 2012

•  Támogatóink: Morgan Stanley