Problem K. 331. (March 2012)
K. 331. The task is to cross a desert with a car. The width of the desert is 600 km. The capacity of the petrol tank of the car is only enough for 400 km, and the car cannot carry fuel in any other way. The car can travel with an average speed of 50--60 km/h. It needs to start out at 8 a.m. and it is to arrive on the other side by 8 p.m. What is the minimum number of such cars needed, for one of them to be able to cross the desert, while the others return back? It is possible to transfer fuel from one car to another.
(6 pont)
Deadline expired on April 10, 2012.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az autó átlagsebességét figyelembe véve lényegében folyamatos haladásra van szükség, várakozni maximum az áttankolás idejére lehetséges (és persze ez szükséges is). Két autó összesen 800 km-re elegendő üzemanyagot tud magával vinni, ebből 600 km kell az egyiknek az áthaladáshoz, tehát a másiknak az oda-vissza útra 200 km jut. Ez viszont nem elég, hiszen ha 100 km után tankolnak át egyikből a másikba, akkor csak 500 km-ig lehet így eljutni. Három autóval viszont megoldható a feladat. Elindul a három autó, 100 km-nél az egyik 100-100 km-re elegendő üzemanyagot ad át a másik kettőnek, és visszafordul. Újabb 100 km megtétele után az egyik autó átad 100 km-re elegendő üzemanyagot a másiknak, és visszafordul. Így a megmaradt autónak éppen a hátralévő 400 km-re elég az üzemanyag. Alternatív megoldás, ha a sivatag túloldalán is vannak autók (ezt a feladat szövege nem zárja ki): két autó indul el, 100 km után áttankolnak egyikből a másikba 100 km-re elegendő üzemanyagot, az első pedig visszafordul; majd szemből az érkező autó elé jön egy másik, és áttankol 100 km-re elegendő üzemanyagot neki, hogy be tudja fejezni útját. Ebben az esetben is kell három autó, tehát így nem lehet csökkenteni a szükséges járművek számát.
Statistics:
152 students sent a solution. 6 points: Béda Ármin, Börcsök Máté, Császma Péter, Dányi Gábor, Fekete Panna, Gnandt Balázs, Hartvig Áron, Iványi Blanka, Jákli Aida Karolina, Kiss Andrea, Kocsis Gábor, Komorowicz Dávid, Kovács 628 Márton, Lengyel Ádám, Maizl Noémi, Máté Bálint, Máthé Roland, Mészáros Gabriella, Olexó Tünde, Palkó Richárd, Papócsi Petra, Péterfi Anna, Porupsánszki István, Qian Lívia, Szalay Fanni, Székely 605 Réka, Szigeti Gréta Anna, Tamás Csongor, Tanos 777 Viktória, Tar Dávid, Tóth Ádám Bars, Tóth László Gábor, Trinyik Flóra, Vecsernyés Márk, Virágh Anna. 5 points: 51 students. 4 points: 27 students. 3 points: 15 students. 2 points: 17 students. 1 point: 6 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2012