Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem K. 333. (March 2012)

K. 333. The three interior angles of a triangle followed by the three exterior angles, in the appropriate order, form six consecutive terms of an arithmetic sequence. Find the measures of the angles of the triangle in degrees. (In an arithmetic sequence, the difference of the consecutive terms is constant, that is, the sequence increases uniformly.)

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A háromszög belső szögei közül a legkisebb pont annyival kisebb a középsőnél, mint amennyivel a legnagyobb szög nagyobb a középső nagyságú szögnél; összegük ezért megegyezik a középső nagyságú szög háromszorosával, másrészről \(\displaystyle 180^\circ\). Tehát a háromszög középső nagyságú belső szöge \(\displaystyle 60^\circ\). Ennek a szögnek a külső szöge \(\displaystyle 120^\circ\). Ha növekvő sorrendbe állítjuk a szögeket, akkor a legkisebb \(\displaystyle 60^\circ -x\), \(\displaystyle 60^\circ\), \(\displaystyle 60^\circ +x\) (a legnagyobb belső szög), \(\displaystyle 60^\circ +2x=120^\circ -x\) (legkisebb külső szög), \(\displaystyle 120^\circ\) ... szerint \(\displaystyle 60^\circ +2x=120^\circ -x\), amiből \(\displaystyle x=20^\circ\). A háromszög szögei tehát \(\displaystyle 40^\circ\), \(\displaystyle 60^\circ\), \(\displaystyle 80^\circ\) (és a külső szögek \(\displaystyle 100^\circ\), \(\displaystyle 120^\circ\), \(\displaystyle 140^\circ\)).


Statistics:

152 students sent a solution.
6 points:89 students.
5 points:25 students.
4 points:5 students.
3 points:4 students.
2 points:3 students.
1 point:10 students.
0 point:15 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2012