Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 333. feladat (2012. március)

K. 333. Egy háromszög három belső, majd a három külső szögét megfelelő sorrendben leírva egy növekvő számtani sorozat hat egymást követő tagját kapjuk. Hány fokosak a háromszög szögei? (A számtani sorozatban az egymást követő tagok különbsége állandó, azaz a sorozat tagjai egyenletesen növekszenek.)

(6 pont)

A beküldési határidő 2012. április 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A háromszög belső szögei közül a legkisebb pont annyival kisebb a középsőnél, mint amennyivel a legnagyobb szög nagyobb a középső nagyságú szögnél; összegük ezért megegyezik a középső nagyságú szög háromszorosával, másrészről \(\displaystyle 180^\circ\). Tehát a háromszög középső nagyságú belső szöge \(\displaystyle 60^\circ\). Ennek a szögnek a külső szöge \(\displaystyle 120^\circ\). Ha növekvő sorrendbe állítjuk a szögeket, akkor a legkisebb \(\displaystyle 60^\circ -x\), \(\displaystyle 60^\circ\), \(\displaystyle 60^\circ +x\) (a legnagyobb belső szög), \(\displaystyle 60^\circ +2x=120^\circ -x\) (legkisebb külső szög), \(\displaystyle 120^\circ\) ... szerint \(\displaystyle 60^\circ +2x=120^\circ -x\), amiből \(\displaystyle x=20^\circ\). A háromszög szögei tehát \(\displaystyle 40^\circ\), \(\displaystyle 60^\circ\), \(\displaystyle 80^\circ\) (és a külső szögek \(\displaystyle 100^\circ\), \(\displaystyle 120^\circ\), \(\displaystyle 140^\circ\)).


Statisztika:

152 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:89 versenyző.
5 pontot kapott:25 versenyző.
4 pontot kapott:5 versenyző.
3 pontot kapott:4 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:10 versenyző.
0 pontot kapott:15 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2012. márciusi matematika feladatai